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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{c 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Pondichéry~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les deux expressions suivantes : 

\[\begin{array}{l c l}
A(x) & =& (2x + 3)(4x - 1)+4 - x^2 - 9\\
B(x) &=& (3x + 1)^2- (x - 2)^2.
\end{array}\]

\item On considère la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Quel est son ensemble de définition ?

Simplifier $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $\dfrac{A(x)}{B(x)} =  \dfrac{2}{3}$ ?
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A = B $ ?
\item Dans un repère orthonormé construire les droites $D_1$, et $D_2$ 
qui représentent respectivement les fonctions définies par :

\[y = 6x-4 \qquad 
\text{et} \qquad y = 4x-1.\]

Déterminer leurs points d'intersection avec les axes et les 
coordonnées du point d'intersection de $D_1$ et de $D_2$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un cercle de centre O et de rayon $R$ ; considérons deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Sur [OC] on porte le segment [OE] tel que  OE $= \dfrac{3R}{4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, la longueur du segment [AE].
\item La droite (AE) recoupe le cercle au point F ; démontrer que les triangles AFB et AOE sont semblables.

Quel est le rapport de similitude ?

En déduire la longueur des segments [AF] et [BF].
\item Montrer que [FD) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AFB}}$.

Soit I le point d'intersection de (AB) et (FD).

La parallèle (FD) menée par B coupe (AF) en K.

Montrer que le triangle BFK est isocèle.

Calculer la valeur des rapports $\dfrac{\text{FA}}{\text{FK}}$ et $\dfrac{\text{IA}}{\text{IB}}$, puis les longueurs des segments [AI] et [IB].
\end{enumerate}
\end{document}