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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{juin 1972}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip



\begin{enumerate}
\item Soit les polynômes suivants:
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x - 3) (x - 4) - (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9\:\:\text{et}\\
B(x)&=& (3x - 1)^2 -(x + 4)^2.
\end{array}\]

Effectuer les opérations et donner $A(x)$ et $B(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
\item Mettre $A(x)$ et $B(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner son ensemble de définition.
		\item Simplifier la fraction $F(x)$.
		\item Calculer $x$ pour que cette fraction $F(x)$ soit égale à + 1.
	\end{enumerate}
\item Représenter. sur un même système d'axes, les fonctions définies par

\begin{center}$y_1 = x + 2$\qquad  et \qquad $y_2 = 4x + 5$.\end{center}
Utiliser ce graphique pour retrouver la solution de la
question c, de la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit A, B et P trois points alignés dans cet ordre, tels que AB $= 5$ cm et BI'  $= 4$~cm.

On trace un demi-cercle de diamètre [AB] et de centre O, puis la tangente menée par P à ce demi-cercle ; on désigne par I le point de contact de la tangente avec le demi-cercle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'égalité
\[\text{PI}^2 = \overline{\text{PA}} \cdot  \overline{\text{PB}}.\]

En déduire la longueur du segment [PI].
\item On mène la tangente en A au demi-cercle, qui coupe le prolongement de [PI] en D.

Comparer les triangles (PIO) et (PAD).

Calculer les longueurs des segments [PD] et [AD].
\item Montrer que les quatre points A, O, I et D sont sur
un même cercle, dont on déterminera le centre.
\item Par le point I on mène la perpendiculaire au diamètre (AB) en H.

Calculer la longueur de (IH).
\end{enumerate}
\end{document}