\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Pondichéry juin 1974},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{juin 1974}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions numériques, de $\R$ dans $\R$, $f_1$, et $f_2$ définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f_1 :&  x&\longmapsto&f_1(x) = 2x - 5\:\text{et}\\
f_2 :&  x&\longmapsto&f_2(x) = \dfrac12 x + 1.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$, représentations graphiques respectives de $f_1$ et de $f_2$, dans un repère orthonormé.
\item Calculer les coordonnées du point A, point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item Soit B le point de la droite $\left(D_1\right)$ d'abscisse $- 1$ et C le point de la droite $\left(D_2\right)$ d'ordonnée $- 1$.

Déterminer la fonction numérique dont la droite (BC) est la représentation graphique.\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{CA}}$ et
$\vect{\text{CB}}$.

Montrer que les droites (AC) et (CB) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Le plan étant muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère le point A de coordonnées $(- 3~;~0)$, le point B de coordonnées (9~;~0).

(Pour le graphique, on choisira comme longueur unité 1 cm ; les représentants des vecteurs $\vect{\imath}$ et $\vect{\imath}$ d'origine O seront notés (O, I) et (O, J).)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le cercle de centre A et de rayon 6 coupe la droite (OJ) en deux points ; on notera C celui de ces points dont la deuxième coordonnée est positive.

Montrer que les coordonnées de C sont $\left(0~;~3\sqrt 3\right)$. 
\item Calculer la distance des deux points B et C et
montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en C.
\item Soit M le milieu du segment [AB] et N sa projection orthogonale sur la droite (BC).

Montrer que N est le milieu du segment [BC] et que la droite (CM) est médiatrice du segment [ON].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points O, M, N et C appartiennent à un même cercle, dont on précisera le centre P, et dont on calculera le rayon $r$.
		\item Montrer que le cercle de centre P et de rayon $r$ passe par le milieu Q du segment [AC].
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadruplet (O, P, C, Q) ?
\end{enumerate}
\end{document}