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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1981}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie par

\[\begin{array}{l l c l}
f :	&\R	& \to			& \R\\
	&x	& \longmapsto	& f(x)
\end{array}\]

avec

\[f(x) = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\dfrac{2\sqrt 6}{3}\right)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$.
\item Rendre entier le dénominateur de $\dfrac{1}{f\left(\sqrt 2\right)}$.
\item Résoudre :
	\begin{enumerate}
		\item $x \in \R$ et $f(x) = 0$ ;
		\item $x \in \R$ et $f(x) = - 8$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit $P$ un plan muni d'un repère orthonormé
\Oij

\[\|\vect{\imath}\| = \|\vect{\jmath}\| = 1 \:\text{cm},\]

A, B, C les points définis par

\[
\vect{\text{OA}} = \vect{\imath} +2\vect{\jmath},\quad
\vect{\text{OB}} = - 2 \vect{\imath} + 5\vect{\jmath},\quad
\vect{\text{OL}} = 5\vect{\imath}  +6\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points A, B et C ?
		\item Faire une figure et placer les points.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les composantes dans la base
$\left(\vect{\imath},~\vect{\imath}\right)$ des vecteurs $\vect{\text{AB}}$,\: $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ ?
		\item Calculer les longueurs des côtés du triangle (A, B, C).
		\item Montrer que (A, B, C) est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB).
		\item En déduire le coefficient directeur de la droite (AC).
	\end{enumerate}
\item Soit $S$ la symétrie centrale de centre A

\begin{center} B' $= S$(B),\qquad C$' = S$(C).\end{center}

Calculer les coordonnées de B$'$ et C$'$.
\item Montrer que (B, C, B$'$, C$'$) est un losange.
\item Soit I, J, K, L les milieux respectifs des segments
[BC],\: [CB$'$], \: [B$'$C$'$),\: [C$'$B].

Montrer que (I, J, K, L) est un rectangle dont l'aire est la moitié de celle du losange 

(B, C, B$'$, C$'$).
\end{enumerate}
\end{document}