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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres suivants; on demande les valeurs
exactes et non des valeurs approchées :

$2 - \dfrac13 + \dfrac14 = $

\smallskip

$4\sqrt 7 + 3\sqrt{63} - 5\sqrt{28} =$

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation suivante:

\[(2x - 5)^2 - 9 = 0.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'inéquation: $3x -1 < x + 4$ et représenter les solutions sur un axe.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Une personne à qui on demandait son âge en 1986, a répondu :

\og Le nombre d'années qui nous séparent de l'an 2000
est égal aux ~ de mon âge.\fg

Quel était l'âge de cette personne ?

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(ABCDEFGH) est un cube plein dont l'arête [AE] mesure 6 (cm) ; I est le milieu du segment [FG).

Des fourmis se déplacent sur la surface du cube ; sur chaque face, les fourmis se déplacent en ligne droite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fourmi \og $x$ \fg{} va de A à I en passant par F.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle distance va-t-elle parcourir?
		\item Quelle est la nature du triangle (AFI) ?
	\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6.6,6.4)
\psframe(0.2,0.2)(4.5,4.5)%ABFE
\psline(4.5,0.2)(6.1,1.8)(6.1,6.1)(4.5,4.5)%BCGF
\psline(6.1,6.1)(1.8,6.1)(0.2,4.5)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.8,1.8)(6.1,1.8)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.8)(1.8,6.1)%DH
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](4.5,0.2){B} \uput[r](6.1,1.8){C} \uput[l](1.8,1.8){D}
\uput[l](0.2,4.5){E} \uput[dr](4.5,4.5){F} \uput[ur](6.1,6.1){G} \uput[u](1.8,6.1){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\item La fourmi \og $z$ \fg{} va aussi de A à I mais en passant par J, milieu du segment [EF).
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner, en vraie grandeur, les faces (ABFE) et (EFGH) et y représenter le trajet de la fourmi \og $z$ \fg.
		\item Quelle distance parcourt la fourmi \og $z$ \fg{}?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le centimètre (cm) est l'unité de longueur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire précisément le triangle (ABC), avec AB $= 7$, BC $= 9$, AC$ = 12$.
\item Placer le milieu I du segment [AC].

Placer le point M situé au quart du segment [IB] à partir du point I.
\item Tracer la droite, passant par M, parallèle à la droite (AB) ; elle coupe la droite (AC) en D.

Tracer la droite, passant par M, parallèle à la droite (BC) : elle coupe la droite (AC) en E.

Calculer la longueur ID.

Montrer que I est le milieu du segment [DE].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\emph{Remarque préalable} : aucune connaissance sur les ordinateurs n'est nécessaire pour traiter cet exercice.

\medskip

Chaque point de l'écran d'un ordinateur est repéré par deux nombres: ses coordonnées dans un repère orthonormé \Oij.

La coutume veut que la première coordonnée soit le repérage horizontal (abscisse) et la deuxième, le repérage vertical (ordonnée).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-2)(2,0.2)
\psline(2,0)(0,0)(0,-2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1,-1)
\uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,-0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Les limites de l'écran sont déterminées par les points suivants: O(0~;~0); P(320~;~0); Q(0~;~200) et R(320~;~200).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(6,3.7)
\psframe(0.2,0.2)(5,3)%QRPO
\uput[u](0,3){O(0~;~0)}\uput[u](5,3){P(320~;~0)}\uput[d](5,0.2){R(320~;~200)}\uput[d](0.2,0.2){Q(0~;~200)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin sur papier millimétré en prenant pour unité le demi-millimètre.

Y placer les quatre points, O, P, Q, R et les points A(80~;~140); B(160~;~120) et C(60~;~50).
\item L'ordinateur peut tracer un segment de droite ; il suffit pour cela de lui donner les coordonnées des extrémités du segment.
	\begin{enumerate}
		\item On désire représenter sur l'écran la droite (AB).
		
Pour cela: il faut les coordonnées des points d'intersection E et F de la droite (AB) avec les bords (OQ) et (PR) de l'écran.

Déterminer graphiquement les coordonnées des points E et F.
		\item Placer le point S tel que CABS soit un parallélogramme.
		
Déterminer par le calcul les coordonnées du point S.

Vérifier que la droite (CS) a pour équation $x + 4y - 260 = 0$.

En déduire les coordonnées des points d'intersection G et H de la droite (CS) avec les bords de l'écran.
		\item Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
		
Soit K le point tel que AKBC soit un parallélogramme. 

L'ordinateur peut-il tracer sur l'écran le segment [CK] tout entier ?

Justifier la réponse par un calcul et vérifier sur le graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}