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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $x = \dfrac35$ et $y = - \dfrac{15}{4}$.

En donnant les détails des calculs et les résultats sous forme
de fractions irréductibles, calculer : 

\[A = xy, \qquad  B = 2x - y, \qquad C = \left(\dfrac xy\right)^2.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par :

\[f(x) = (3x - 2)^2 - (x - 3)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item En utilisant la forme de $f(x)$ la mieux adaptée, résoudre
dans $\R$ l'équation : $f(x) = - 5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Écrire $E = \dfrac{8\sqrt 5}{\sqrt 5 + 1}$ sous la forme simplifée $a + b \sqrt 5$ où $a$ 
et $b$ sont deux entiers relatifs.

En utilisant l'expression simplifiée de $E$ et l'encadrement
$2,236 < \sqrt 5 < 2,237$, trouver un encadrement de $E$ et en déduire la valeur approchée au centième près par défaut.

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit O un point du plan. L'unité étant le centimètre, on considère le cercle $C$ de centre O de rayon 5. 

Soit A un point de ce cercle. Soit [AB] une corde de ce cercle de longueur 6. 

Soit H le projeté orthogonal de O sur (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure propre et précise.
\item Quelle est la nature du triangle ABO ? 

Calculer AH.

Justifier les réponses.
\item Évaluer, dans le triangle rectangle OHA, $\cos \widehat{\text{HAO}}$ ; puis
trouver au degré près par défaut la valeur de l'angle $\widehat{\text{HAO}}$. 

(On pourra utiliser la calculatrice ou l'extrait de table ci-dessous.)

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés &Cosinus\\ \hline
52 & \np{0,6157}\\ \hline
53 & \np{0,6018}\\ \hline
54 & \np{0,5878}\\ \hline
55 & \np{0,5736}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD est un trapèze rectangle en A et D. 

M est un point de [AD], N est un point de [BC] et (MN) est parallèle à (DC).

On sait, l'unité choisie étant le centimètre, que :

AB $= 6$, DC $= 8$, MD $= 1$, MA= 3 et on désigne par $a$ la longueur MN (voir figure).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.6,3.3)
\pspolygon(0.2,2.8)(3.5,2.8)(5.2,0.2)(0.2,0.2)%ABCD
\psline(0.2,0.8)(4.8,0.8)%MN
\uput[ul](0.2,2.8){A} \uput[ur](3.5,2.8){B} \uput[r](5.2,0.2){C}
\uput[dl](0.2,0.2){D} \uput[l](0.2,0.8){M} \uput[r](4.8,0.8){N}
\uput[u](1.85,2.8){6} \uput[l](0.2,1.8){3} \uput[l](0.2,0.5){1}
\uput[d](2.7,0.2){8} \uput[u](2.25,0.8){$a$}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle :

\begin{center}
Aire du trapèze  $= \dfrac{\text{somme des bases} \times \text{hauteur}}{2 }$.\end{center}


\begin{enumerate}
\item En utilisant la formule de l'aire du trapèze, calculer :
\begin{itemize}
\item l'aire $T$ du trapèze ABCD,
\item l'aire $T_1$ du trapèze ABNM (en fonction de la longueur $a$),
\item l'aire $T_2$ du trapèze MNCD (en fonction de la longueur $a$).
\end{itemize}

\item En remarquant que: $T = T_1 + T_2$, en déduire la valeur de $a$. 

Donner la longueur MN en millimètres.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} (unité
le centimètre).

On considère trois points de ce plan :

\begin{center}A(0~;~3);\quad B(2~;~1);\quad C$(-3~;~-4)$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire une figure. Placer les points A, B et C. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Soit D$(7~;~-4)$. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{AB}}$. 

Trouver le réel $k$ tel que $\vect{\text{AD}} = k\vect{\text{AB}}$.

En déduire que les points A, B et D sont alignés (vérifier sur le graphique).
\item La droite (CD) coupe l'axe des ordonnées en E. 

Que représentent les droites (AE) et (BC) pour le triangle ACD ? 

Soit H leur point d'intersection. 

Que représente H pour le triangle ACD ?
\item Déterminer une équation de la droite (BC). 

En déduire les coordonnées du point H.
\end{enumerate}
\end{document}