\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet Pondichéry},
pdftitle = {avril 2001},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{avril 2001}}
\rfoot{\small{Pondichéry}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Pondichéry
  avril 2001\decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de \np{1756} et \np{1317} (on détaillera les calculs nécessaires).
\item Un fleuriste a reçu \np{1756} roses blanches et \np{1317} roses rouges.

Il désire réaliser des bouquets identiques (c'est-à-dire comprenant un même nombre de roses et la même répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les fleurs.
	\begin{enumerate}
		\item Quel sera le nombre maximal de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.
		\item Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
\psframe(0.2,0.2)(4.3,4.3)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0.2,1)(3.3,1)(3.3,4.3)(1.7,4.3)(1.7,2.8)(0.2,2.8)%JIHEFG
\psline{<->}(0,0.2)(0,4.3)\uput[l](0,2.25){4}
\psline{<->}(0.2,4.5)(1.7,4.5)\uput[u](0.95,4.5){2}
\psline{<->}(3.3,4.5)(4.3,4.5)\uput[u](3.8,4.5){$x$}
\uput[ul](0.2,4.3){A} \uput[ur](4.3,4.3){B} \uput[dr](4.3,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} 
\uput[ur](1.7,4.3){E} \uput[ul](1.7,2.8){F} \uput[ur](0.2,2.8){G} \uput[ul](3.3,4.3){H} 
\uput[dr](3.3,1){I} \uput[dr](0.2,1){J} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\begin{enumerate}\item Dans la figure ci-contre AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés. Calculer AH en fonction de $x$ ; en déduire l'aire de AHIJ puis préciser, dans la liste ci-dessous, la (ou les) expression(s) algébrique(s) qui correspond(ent) à l'aire de la partie hachurée.

$M = (4 - x)^2 - 2^2$

$N = (4 - x - 2)^2$

$P = 4^2 - x^2- 2^2$
\item Développer et réduire l'expression 

$Q = (4 - x)^2 - 4$.

\medskip

\item Factoriser $Q$.
\item Calculer $Q$ pour $x = 2$. Que traduit ce résultat pour la figure ?
\end{enumerate}
}

\newpage

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\bigskip


\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psellipse(3,4.3)(2.5,0.55)
\psellipse(3,0.3)(1.05,0.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.9,0.3)(3.1,2.5)
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[](3,12.5){1.65}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](3,12.5){1.65}{0}{180}}%
\psline(0.7,4.1)(3,2.4)(5.3,4.1)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{Un verre est composé d'un pied surmonté
 d'un cône de révolution.

L'épaisseur du verre est supposée négligeable.

Le cône a pour sommet $S$ et sa base est un disque de diamètre $[AB]$.

On donne $AB = 12$~cm et $SA = 7,5$~cm.

On note $I$ le milieu du segment $[AB]$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur $SI$ du cône.
\item Calculer le volume maximal de liquide que peut contenir ce
  verre. Ce volume sera noté $\cal{V}$.

Donner la valeur exacte de $\cal{V}$ en $cm^{3}$ puis sa valeur
arrondie à 1~mm$^3$ près.
\item On remplit ce verre d'eau de telle sorte que la surface du
  liquide soit dans un plan parallèle à celui qui contient le disque
  de base du cône et que le niveau de l'eau atteigne le point $A'$ du
  segment $[SA]$ tel que $SA'=5$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le volume $\cal{V'}$ d'eau en fonction du volume
  $\cal{V}$ ; justifier la réponse.
		\item En déduire la valeur arrondie de $\cal{V'}$ au cm$^3$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\emph{La figure ci-contre est donnée à titre indicatif.}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Une société commerciale d'accès à internet propose trois formules :
\begin{itemize}
\item \textbf{Formule A} : L'accès à internet est gratuit et on ne
  paye que les communications soit 9~F par heure.
\item \textbf{Formule B} : Il s'agit d'un forfait mensuel de 180~F,
  c'est-à-dire que, pour 180~F par mois, on ne paye pas les
  communications et l'accès à internet est illimité.
\item \textbf{Formule C} : Pour cette formule, un accord est passé
  avec la société de télécommunications et, moyennant 21,60~F par
  mois, les communications restent payantes mais leur prix est réduit
  de 20\%.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme il est précisé ci-dessus, le prix d'une heure de
  communications téléphoniques coûte 9~F. Calculer le prix d'une heure
  de communications si ce tarif est réduit de 20\%.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip
		
{\footnotesize
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
Nombre d'heures de connexion en un mois & 5 heures & 15 heures &25 heures\\
\hline
Prix payé en francs avec la formule A &&&\\
\hline
Prix payé en francs avec la formule B &&&\\
\hline
Prix payé en francs avec la formule C &&&\\
\hline
\end{tabular} 
}

\medskip

		\item Déduire du tableau ci-dessus quelle est la formule la plus
  avantageuse pour 5, 15, puis 25 heures de connexion.
	\end{enumerate}  
\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ d'heures de connexion, le
  prix en francs payé en un mois :
	\begin{enumerate}
		\item pour la formule A ;
		\item pour la formule B ;
		\item pour la formule C.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions suivantes :

\begin{itemize}
\item la fonction linéaire $f$ telle que $f : x \longmapsto 9x$ ;
\item la fonction affine $g$ telle que $g : x \longmapsto 7,2x+21,6$ ;
\item la fonction affine $h$ telle que $h : x \longmapsto 180$ ;
\end{itemize}

Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère $(O, I,
J)$ les droites $(D_{f})$, $(D_{g})$ et $(D_{h})$ qui représentent
respectivement les fonctions $f$, $g$ et $h$.

On prendra 0,5~cm pour une unité en abscisses et 1~cm pour 10 unités
en ordonnées et on se limitera à des valeurs de $x$ comprises entre 0
et 25.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y=9x\\
y=7,2x+21,6\\
\end{array}
\right.
\]
		\item Donner une interprétation graphique de la solution du système
  précédent.
	\end{enumerate}
En utilisant une lecture graphique réalisé à la question 4, préciser
pour quelles valeurs de $x$ chacune des trois formules est la plus
avantageuse.
\end{enumerate}
\end{document}