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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry avril 2005~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose A $= \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{3} \times \dfrac{1}{15}$  et B $ = \left(1 - \dfrac{1}{7}\right) + \dfrac{12}{5}$.

Calculer A et B en détaillant les étapes des calculs. Donner les résultats
sous forme de fractions irréductibles.
\item On pose C $= \dfrac{5 \times 10^4 \times 42 \times 10^2}{6 \times 10^{-4}}$.\\
Donner l'écriture scientifique de C en détaillant les étapes des calculs. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose D $= 5\sqrt{3} - \sqrt{75} + 2\sqrt{27}$.\\
Écrire D sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
\item On pose E $= \left(\sqrt{7} + \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{7} - \sqrt{2}\right)$.

Montrer que E est un entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose F $= 49 - (3x + 2)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser F.
\item Développer $(3x + 2)^2$, puis F.
\item Calculer F pour $x = \dfrac{5}{3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de 388 et 129 en expliquant la méthode choisie.
\item Peut-on simplifier la fraction $\dfrac{388}{129}$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y & = & 104\\
x - y&=&8\\
\end{array}\right.\]
\item Matéo et Simon, qui ont 8 ans d'écart, additionnent leurs âges et trouvent 104 ans.

Sachant que Matéo est le plus jeune, calculer l'âge de chacune de ces deux personnes
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes les unes des autres.}

MNP est un triangle rectangle en P tel que :
\begin{center}
MP = 5 cm et MN = 7 cm. 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{\text{MNP}}$.
\item Calculer la valeur exacte de NP ; donner son arrondi au mm.
\item Soit I le point du segment [MP] tel que PI =  2 cm. La parallèle à
(MN) passant par I coupe [PN] en J.

Calculer IJ.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un segment [EF] de 8 cm puis le cercle de diamètre
[EF]. G est un point de ce cercle tel que EG~=~6~cm.

Quelle est la nature du triangle EFG ? Justifier la réponse.
\item Construire le point K symétrique de E par rapport au point G.
\item Construire 1e point L symétrique de F par rapport au point G.
\item Quelle est la nature du quadrilatère EKFL ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit (O ; I, J) un repère orthonormé tel que OI = OJ = 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants :
\begin{center}A(3 ; 3) ; B(4 ; 2) C(2 ; 2) et D(1 ; 1). \end{center}
\item Monter que C est le milieu du segment [AD]. Tracer les segments
[AD], [AB] et [BC]. On obtient un dessin appelé T.
\item Construire en bleu l'image de T par la translation de vecteur $\vect{\text{DA}}$.
\item Construire en vert l'image de T par la rotation de centre O, d'angle
90~\degres, le sens étant celui des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Pour aller en train voir sa fille, Paul prévoit de faire plusieurs allers-retours entre Valy et Suret. 

Deux solutions lui sont proposées.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Formule A : voyager à plein tarif ; un billet aller-retour s'élève à 170 euros.
\item[$\bullet~$]  Formule B : acheter une carte \og Escapade \fg{} coûtant 100 euros et bénéficier alors d'une réduction de 25\:\%
 pour chaque billet aller-retour.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'avec la formule B un aller-retour est facturé 127,50 euros.
\item  Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4,5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'allers-retours & 1&2&3\\ \hline
Prix de revient avec la formule A (en euros) & & & \\ \hline
Prix de revient avec la formule B (en euros) & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $x$ le nombre de voyages aller-retours.

Exprimer, en fonction de $x$, le prix de revient de $x$ voyages :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] par la formule A
\item[$\bullet~$] par la formule B.
\end{itemize}


\item 
	 \begin{enumerate}
		\item Construire un repère orthogonal en prenant l'origine en bas à gauche de la feuille de papier millimétré et comme unités graphiques :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  en abscisses, 2 cm pour une unité ;
\item[$\bullet~$]  en ordonnées, 2 cm pour 100 euros.
\end{itemize}
		\item  Dans le repère précédent, construire la représentation graphique de
deux fonctions $A$ et $B$ définies par :

\[A(x) = 170x \quad \text{et} \quad  B(x) = 127,50x+ 100.\]

	\end{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide du graphique, à partir de quel nombre de voyages allers-retours Paul a intérêt à acheter la carte \og Escapade \fg.

Faire apparaître les tracés utiles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'inéquation $127,50x + 100 < \nombre{1000}$.
		\item  Paul a un budget de \nombre{1000} euros.
		
Combien peut-il faire au maximum d'allers-retours avec sa carte
\og Escapade \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}