\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Pondichéry juin 1989},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1989}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Chacune de ces expressions est égale à un nombre entier. Le calculer.

(Un résultat exact non justifié par un enchaînement de calculs ne rapportera que la moitié des points de la question.)

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $\sqrt{45+4}$ ;&\textbf{d.~~}$2\sqrt{25} + \sqrt{27} \sqrt{75} + 2\sqrt{3}\:;$\\
\textbf{b.~~} $88 \times \left(\dfrac{7}{11} - \dfrac34 + 10\right)$\:;&\textbf{e.~~}$\dfrac{\left(2\sqrt 7 + 3 \right)\left(2\sqrt 7 - 3\right)}{19}$\\
\textbf{c.~~} $\dfrac{6\sqrt 2 + 15}{3} -2\sqrt 2 + 3$\:;&\textbf{f.~~}$(2\pi + 3)(2\pi - 3) - 4\pi^2 + 10.$\\
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Factoriser les expressions
\begin{enumerate}
\item $E (x) = x^ + 8x + 16$ ; 
\item $F(x) = 5(x + 4)(2x + 3) + x^2+ 8x + 1$.
suivantes :
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ :

\begin{enumerate}
\item $\dfrac x3 +  \dfrac94 = -\dfrac{5x}{6}  + \dfrac{15}{2}$ ;
\item $\dfrac x3 +  \dfrac94 \geqslant -\dfrac{5x}{6} + \dfrac{15}{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième  partie}

\medskip

Soit un repère orthonormé $\left(\text{O},~ \vect{\text{OI}},\,  \vect{\text{OJ}}\right)$. On prendra OI = OJ $= 1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon $R = 5$.

Il coupe les axes en A$(- 5~;~0)$, B(5~;~0), C(0~;~5) et F$(0~;~- 5)$.
\item Démontrer que le point D(4~;~3) appartient au cercle $(\mathcal{C})$.
\item Soit E le symétrique de D par rapport au point O.
	\begin{enumerate}
		\item Placer E.
		\item Calculer les coordonnées de E.
	\end{enumerate}	
\item Démontrer que le triangle DEC est rectangle.
\item En utilisant une valeur approchée de DC, mesurée sur la figure au millimètre près,
	\begin{enumerate}
		\item calculer $\sin \widehat{\text{DEC}}$.
		\item En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{DEC}}$ au degré près. 
		
		(Utiliser une calculatrice ou l'extrait de table ci-dessous.)
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle &25\degres&26\degres 	&27\degres 	&28\degres 	&29\degres 	&30\degres\\ \hline
Sinus &0,423 	&0,438 		&0,454 		&0,469 		&0,485 		&0,500\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Trois ingénieurs, André, Jacques et Philippe, habitent la
même ville. Ils doivent diriger un chantier situé à 250 km de leur domicile. Ils envisagent de se déplacer en train.

Ils ont le choix entre trois tarifs:

\begin{itemize}
\item TARIF 1 : tarif normal à $0,40$ F le kilomètre parcouru;
\item TARIF 2 : achat d'une carte \og demi-tarif \fg{} à $700$ F. Cette carte achetée une seule fois permet de payer $0,20$~F le kilomètre parcouru ;
\item TARIF 3 : achat d'une carte \og abonnement \fg{} à $550$~F, puis chaque mois (y compris le premier), achat d'un timbre à $550$~F.
\end{itemize}

\emph{Résumé des tarifs} :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Carte	& Par mois 	&Par km\\ \hline
Tarif 1					&0~F 	&0~F		&0,40~F\\ \hline
Tarif 2					&700~F	&0~F		&0,20~F\\ \hline
Tarif 3					&550~F 	&550~F 		&0~F\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Les ingénieurs envisagent de faire chacun $13$ allers et retours régulièrement répartis sur trois mois.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le prix de ces $13$ allers et retours répartis sur $3$ mois pour chacun des trois tarifs.
		\item L'équipe des ingénieurs choisit alors le tarif le plus avantageux pour les voyages prévus. Quel est ce tarif ?
	\end{enumerate}	
\item $f, g, h$ sont des fonctions qui à $x$ kilomètres parcourus font correspondre (selon les tarifs 1, 2 et 3) le prix à payer exprimé en francs. 

Elles sont définies par

\[f(x) = 0,4x\:;\qquad g(x) = 0,2x + 700\:;\qquad h(x) = \np{2200}.\]

Représenter dans un même repère ces trois fonctions.

L'axe des abscisses sera gradué de 0 à \np{9000} (1 cm pour $500$~km).

L'axe des ordonnées sera gradué de 0 à \np{4000} (1 cm pour $200$ F).
\item Par simple lecture du graphique, répondre aux questions suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item A la fin des travaux, André a parcouru \np{7000} km. Avait- il choisi le bon tarif ?
		\item Même question pour Jacques qui a parcouru \np{8000} km.
		\item Philippe constate qu'il aurait dépensé la même somme en choisissant le premier tarif.
	\end{enumerate}
Combien de kilomètres a-t-il parcourus ?
\item Retrouver le résultat du 3, c. par le calcul.
\end{enumerate}

\end{document}