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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1998}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le plus simplement possible :

\[A = 2,5 - 7 \times 2^3\,\,;\quad B = \left(\dfrac{20}{8} - 5\right) + \left(3 + \dfrac{11}{4}.\right).\]

\item On pose $C = \sqrt 2, \quad D = 3 + \sqrt{8}, \quad E = 4\sqrt 2 - 7.$

Écrire les nombres $C  +D - E$ et $E^2$ sous la forme $p +q\sqrt 2$ avec $p$ et $q$ entiers.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression

$F = (x + 5)^2 - 16$.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Factoriser $F{}$.
\item Résoudre l'équation : $(x + 1)(x + 9) = 0$.

\item Sur la figure ci-contre, ABCD est
un carré de côté $x + 5$.
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$, l'aire%  fig
hachurée est-elle égale au triple de l'aire du carré de côté 2 ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-1,0)(4.5,3.8)
\psline(0.3,0.3)(3.3,0.3) \psline(0.3,3.3)(4.2,3.3)
\psframe[fillstyle=hlines](0.7,0.3)(3.7,3.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](3,2.6)(3.7,3.3)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.9,2.6)(3.9,3.3)\uput[r](3.9,2.95){2}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3,3.5)(3.7,3.5)\uput[u](3.35,3.5){2}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,0.3)(0.5,3.3)\uput[l](0.5,1.8){$x + 5$}
\uput[u](0.7,3.3){A} \uput[d](0.7,0.3){B} \uput[d](3.7,0.3){C} \uput[ur](3.7,3.3){D}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l c l}
4x+ 7y&=& 209\\
2x+ 5y&=& 121.
\end{array}\right.$
\item Valérie se fabrique un collier de perles avec deux sortes de perles :
des perles rondes coûtant 0,50 F, pesant $2$~g et mesurant $8$~mm ; des perles cylindriques coûtant $2$~F, pesant $5$~g et mesurant 14 mm. De plus, le collier mesure $418$ mm et pèse $121$~g.
	\begin{enumerate}
		\item En désignant par $x$ le nombre de perles rondes et par $y$ le nombre de perles cylindriques, écrire un système de deux équations mettant en relation $x$ et $y$.
		\item Quel est le nombre de perles de chaque sorte ?
		\item En déduire le prix du collier sachant que les perles sont enfilées sur
un fil de cuir coûtant 8~F{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le dessin ci-dessous, le triangle MER a les dimensions suivantes : ER $= 44$ ;\, EM $= 52$ ; \, RM $= 48$.

Les points F et S ont été respectivement placés sur les droites (EM) et (ER) tels que ES $= 33$ et EF $= 39$.

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (FS) et (RM)sont parallèles.
\item Calculer la valeur de FS.
\item Construire le point U image de R
dans la translation de vecteur $\vect{\text{FS}}$. 

On complètera la figure.
\item Préciser la nature du quadrilatère SURF.
\item Indiquer un vecteur représentant la somme $\vect{\text{RE}} + \vect{\text{ES}}$ puis un vecteur représentant $\vect{\text{RF}} + \vect{\text{RU}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-1,0)(4,3.8)
%\psgrid
\psline(0,2.4)(3.8,0.8)%FM
\psline(0.4,0)(3.6,3.5)%SR
\psline(0.45,2.9)(1.1,0)%FS
\psline(3,3.8)(3.6,0.5)%RM
\uput[ur](0.6,2.1){F} \uput[l](0.95,0.6){S} \uput[u](1.84,1.6){E} \uput[l](3.15,3){R}
\uput[dl](3.52,0.9){M}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle isocèle de sommet principal A; AB = 8 cm et
BC= 6 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC et la hauteur [AH].

Quelle est la valeur de BH ?
\item Calculer la valeur exacte de AH, puis en déduire une valeur approchée de l'aire du triangle ABC au millimètre carré près.
\item Tracer le cercle de diamètre [AB]. Démontrer que H est situé sur le cercle.
\item Calculer au degré près la mesure approchée de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ ; en déduire une mesure approchée de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ ; 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal, tracer La droite d'équation $y= - 20x+ 270$. 

On prendra 1 cm pur 1 unité en abscisse et 1 cm pour 20 unités en ordonnée, et on se limitera aux valeurs positives de $x$.
\item On veut que $150 \leqslant y \leqslant 200$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie correspondante de la droite sur le graphique.
		\item Calculer les abscisses des extrémités A et B de ce segment (A étant le point d'ordonnée 200).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{(se reporter au schéma et au formulaire à la fin du problème).}

\medskip

Un solide de hauteur $9$~cm est formé d'un cylindre surmonté d'un cône de même rayon de base.

L'aire de la base est de 30~cm$^2$ ; la hauteur du cône est variable et désignée par $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item Le volume $V_1$ du cône exprimé en cm$^3$.
		\item La hauteur du cylindre exprimé en cm.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le volume $V_2$ du cylindre exprimé en cm$^3$.
		\item Montrer que le volume total du solide, exprimé en cm$^3$, est
$V= - 20x+ 270$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Maître Cornille se construit un moulin de hauteur $9$~m et de base $30$~m$^2$. 

Le mur est cylindrique et le toit conique. Il voudrait que le volume total de son moulin soit compris entre 150 et 200~m$^3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment doit-il choisir la hauteur de son toit ?
\item Quelle est la valeur, arrondie au décimètre, du rayon de base de son
moulin ?
\item Si le toit forme un angle de $50\degres$ avec l'horizontale, cela correspond-il à ses exigences ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{9cm}|c|}\hline
\[\text{Formulaire}\]

Volume d'un cône $V = \dfrac{b \times h}{3}$

($b$ étant l'aire de base, $h$ la hauteur du cône).

Volume du cylindre $V = b \times h$

($b$ étant l'aire de base, $h$ la hauteur du cylindre.)

Longueur d'un cercle $L = 2 \pi R$

(R étant le rayon du cercle).

Aire d'un disque $\mathcal{A} = \pi R^2$

($R$ étant le rayon du disque).&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.3,4)
\psellipticarc[linestyle=dotted](1.5,2.5)(0.7,0.2){0}{180}
\psellipticarc[linestyle=dotted](1.5,0.5)(0.7,0.2){0}{180}
\psellipticarc(1.5,2.5)(0.7,0.2){180}{360}
\psellipticarc(1.5,0.5)(0.7,0.2){180}{360}
\psline[linestyle=dotted](1.5,2.5)(2.2,2.5)
\psline[linestyle=dotted](1.5,0.5)(2.2,0.5)
\psline(0.8,0.5)(0.8,2.5)(1.5,3.7)(2.2,2.5)(2.2,0.5)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.4,0.5)(2.4,2.5)\uput[r](2.4,1.5){9}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.6,2.5)(0.6,3.7)\uput[l](0.6,3.1){$x$}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}




\end{document}