\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Pondichéry juin  1999},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 1999}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small }
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Pondichéry  juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire les nombres sous la forme la plus simple possible.

\[A = \dfrac73 - \dfrac25 \times \dfrac78 \qquad  B = \dfrac{1 + \dfrac34}{1 - \dfrac34}\]

\[C = \dfrac{2 \times  10^2 \times  5 \times  10^{-3}}{4 \times 10^{-4}} \qquad D = \sqrt{75} -  \sqrt{12} + \sqrt{27}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $2x - 3 \geqslant x + 1$.
\item $x$ désignant un nombre supérieur ou égal à 4, ABCD est un carré dont le côté mesure $2x - 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'aire du rectangle BCEF s'exprime par la formule:
		
$A(x) = (2x - 3)^2 - (2x - 3) (x + 1).$

		\item Développer et réduire $A(x)$.
		\item Factoriser $A(x)$. 
		\item Résoudre l'équation $(2x - 3) (x - 4) = 0$.
		\item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire de BCEF est-elle nulle ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.35cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(3.4,3.8)
\psframe(3,3)%DCBA
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.7,0)(3,3)%FECB
\uput[l](0,3){A} \uput[r](3,3){B}\uput[dr](3,0){C}\uput[dl](0,0){D}
\uput[ul](1.7,0){E}\uput[dl](1.7,3){F}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,3.3)(3,3.3)\uput[u](1.5,3.3){$2x - 3$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-0.4)(1.7,-0.4)\uput[u](0.85,-0.4){$x + 1$}
 \end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au brevet blanc du collège, qui ne comporte que trois épreuves (français, histoire-géographie et mathématiques notées chacune sur 40), un élève est admis lorsqu'il obtient au moins 60.

\medskip

\begin{enumerate}
\item André a obtenu: 24 en français, 18 en histoire-géographie et 27 en mathématiques.

Est-il reçu ? Quelle est la moyenne de ses notes sur 20 ?
\item Marie a été reçue avec juste 60. Elle a eu 21 sur 40 en français : sa note de mathématiques est le double de celle de l'histoire-géographie.

Déterminer sa note de mathématiques et sa note d'histoire-géographie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que: AB $= 5$ cm ; AC $= 7$ cm; BC $= 8$ cm. 

Placer le milieu I du segment [BC].
\item Construire les points E, F, G et H définis de la façon suivante:
	\begin{enumerate}
		\item E est l'image de A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$ ;
		\item F est l'image de A dans la symétrie de centre I ;
		\item G est l'image de A dans la symétrie d'axe (BC);
		\item H est l'image de A dans la rotation de centre B, d'angle $60\degres$, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
	\end{enumerate}
\item Sans justifier la réponse, dire quels sont les segments qui ont la même lon-gueur que le segment [AB].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le repère orthonormal (0, I, J) représenté ci-après. 

La droite $\left(d_1\right)$ d'équation $y = \dfrac12 x + 4$ est déjà tracée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\left(d_2\right)$ d'équation $y = - 2x - 1$.
\item Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont sécantes au point A.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées du point A à partir d'une simple lecture.
		\item Retrouver par le calcul les coordonnées de A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-6)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-6)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=2](0,0)(0,0)(1,1)
\uput[d](7.8,0){$x$}\uput[l](0,9.8){$y$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-10}{8}{0.5 x mul 4 add}
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.6,3)
\pspolygon(0,0)(7.6,0)(4.1,2.7)%FAE
\psline(1.2,0)(4.6,2.3)%CB
\uput[d](0,0){F}\uput[d](7.6,0){A} \uput[u](4.1,2.7){E}\uput[d](1.2,0){C}\uput[ur](4.6,2.3){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On considère le dessin ci-dessus.

On sait que : (BC) est parallèle à (EF); AB $= 7,5$ ; AE $= 9$ ; AF $= 15$ ; BC $= 8$.

Calculer AC et EF{}.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

On considère la pyramide régulière (SABCD) dont la base est le carré ABCD de
côté 6 cm. La hauteur SO mesure 9 cm. Voir dessin \no 1 ci-après.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
\item Construire le triangle SOC en vraie grandeur.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de la pyramide est $V = 108$~cm$^3$.

On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base, passant par le point O$'$ du segment [SOl tel que SO$' = 3$ cm. On obtient la pyramide (SA$'$B$'$C$'$D$'$), réduction de (SABCD) à l'échelle $\dfrac{1}{3}$
\item Placer O$'$ sur le dessin effectué dans la deuxième question de la partie A.

Construire C$'$.
\item Calculer le volume $V'$ de la pyramide (SA$'$B$'$C$'$D$'$).
\item Après avoir coupé la pyramide (SABCD), la partie basse s'appelle un tronc de pyramide : (ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$). (Voir dessin \no 2).

Montrer que son volume est $V'' = 104$~cm$^3$.
\end{enumerate}


\begin{center}
\begin{pspicture}(8,17)
%\psgrid
\psline(0,9.5)(4.8,9.5)(7.1,11.2)(3.78,16.3)(4.8,9.5)(3.78,16.3)(0,9.5)%ABCSBS
\uput[dl](0,9.5){A}\uput[dr](4.8,9.5){B}\uput[r](7.1,11.2){C}\uput[ul](2.84,11.2){D}\uput[ur](3.78,10.35){O}
\uput[u](3.78,16.3){S}
\psline(1.6,12.4)(4.38,12.4)(5.68,13.35)%A'B'C'
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](7.1,11.2)(2.84,11.2)(0,9.5)(7.1,11.2)%CDA
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](2.84,11.2)(4.8,9.5)%DB
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](2.84,11.2)(3.78,16.3)(3.78,10.35)%DSO
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](5.68,13.35)(3.22,13.35)(1.6,12.4)(5.68,13.35)%C'D'A'C'
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](4.38,12.4)(3.22,13.35)%B'D'
\uput[l](1.6,12.4){A$'$}\uput[dr](4.38,12.4){B$'$}\uput[r](5.68,13.35){C$'$}\uput[l](3.22,13.35){D$'$}\uput[ur](3.78,12.93){O$'$}
\rput(1.2,16){Dessin \no 1}
%%%%%%%%
\psline(0,0)(4.8,0)(7.1,1.7)(5.68,3.85)(4.38,2.9)(4.8,0)%ABCC'B'B
\psline(4.38,2.9)(1.6,2.9)(0,0)%B'A'A
\psline(1.5,3.1)(4.28,3.1)(5.58,4.05)(3.68,7.2)(4.28,3.1)%A'B'C'SB'
\psline(3.68,7.2)(1.5,3.1)%SA'
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](1.5,3.1)(2.8,4.05)(5.58,4.05)%A'D'C'
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](2.9,4.05)(3.68,7.2)%D'S
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](1.6,2.9)(2.9,3.85)(5.68,3.85)%A'D'C'
\psline(1.6,2.9)(1.88,3.1)\psline(5.68,3.85)(5.3,3.85)
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](0,0)(2.3,1.7)(7.1,1.7)%ADC
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted](2.3,1.7)(2.9,3.85)
\rput(1.2,7){Dessin \no 2}
\rput(7,6){Pyramide supérieure}
\rput(7.4,2.6){Tronc de pyramide}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
%@Titre: Inde -- 1999
\begin{myenumerate}
\item Construire le triangle $TRI$ tel que $RI=8$~cm, $RT=6$~cm et
$TI=10$~cm.
\item Quelle est la nature du triangle $TRI$?
\item Placer le point $O$ sur le segment $[TR]$ tel que $TO=3,6$~cm
et le point $P$ sur le segment $[TI]$ tel que $TP=TI$.
\item Les droites $(OP)$ et $(RI)$ sont-elles parallèles ?
\end{myenumerate}
%%%%%%%%%%%%

%@Titre: Inde -- 1999
\'Ecrire les nombres $C$ et $D$ sous la forme $a\sqrt b$ la plus simple
possible.
$$C=7\sqrt3-3\sqrt{48}+5\sqrt{12}\kern1cm
D=\sqrt{\frac{5}{27}}\times\sqrt3$$

\end{document}
On considère l'expression suivante : $E = (2x-3)^2 -64$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation suivante : $(2x - 11)(2x + 5) = 0$. 
\item Calculer $E$ pour $x = -2$.
\end{enumerate}
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Exercice 4}

\medskip

La recette d'un match s’élève à \np{36500} F. Le prix d'une place en tribune est 50 F et celui d'une place en \og populaire \fg{} est 30 F. 

Sachant que \np{1000} spectateurs ont payé leur place pour ce match, déterminer le nombre de spectateurs qui ont acheté une place en tribune et le nombre de ceux qui ont acheté une place en \og populaire \fg.
%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
\item Construire le triangle TRI tel que RI $= 8$, RT $= 6$ et TI $= 10$.
\item Quelle est la nature du triangle TRI ?
\item Placer le point O sur le segment [TR] tel que TO $= 3,6$ et le point P sur le segment [TI] tel que TP $= \dfrac{3}{5}$ TI.
\item Les droites (OP) et (RI) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%
L'unité de longueur est le centimètre et le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-1~;~2)$ et B$(3~;~-1)$.
\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
\item Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB] et placer le point M dans le repère.
\item Tracer la droite (D) perpendiculaire en M à la droite (AB).

Quel est le coefficient directeur de la droite (D) ?

Que représente la droite (D) pour le segment [AB] ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%

Un cornet de glace en forme de cône est constitué de deux parties :
\begin{itemize}
\item une partie inférieure composée de gaufre et remplie de crème
glacée,
\item une partie supérieure constituée de glace.
\end{itemize}
\par On donne $SO=16$~cm; $AB=5$~cm.

\paragraph{Première partie} On arrondira tous les résultats au dixième
prés.
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cornet de glace.
\item On appelle $SA'B'$ le cône constitué de gaufre dont la base de
centre $O'$ est parallèle à la base du cône $SAB$. On donne
$SO'=12$~cm. Le cône $SA'B'$ est une réduction du cône $SAB$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient de réduction et en déduire le volume de
la partie gaufrée.
\item Calculer le volume de la partie supérieure en forme de tronc de
cône constituée uniquement de glace.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\paragraph{Deuxième partie}
Un vendeur de glace propose à ses clients les cornets de glace décrits
ci-dessus. Il les achète 3,50 francs l'unité au fabricant Moki. Il en
achète 100 et les revend 10 francs pièce. Soit $x$ le nombre de
cornets vendus.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ le bénéfice réalisé par ce
vendeur. (On appelle bénéfice la différence entre le gain obtenu par
la vente et le coût d'achat des glaces.)
\item Soit $R$ l'application affine qui, à $x$, associe
$R(x)=10x-350$. Représenter cette application dans un repère $(O;I,J)$
sur papier millimétré.\par Unités graphiques : 1~cm pour 10 glaces
en abscisse, 1~cm pour 50 francs en ordonnée.
\item \`A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Combien de glaces doit-il vendre pour réaliser un bénéfice nul ?
Retrouver ce résultat par le calcul.
\item Combien de glaces doit-il vendre pour réaliser un bénéfice de
300 francs ?
\item Quel est son bénéfice s'il vend 70 glaces?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%

