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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Portugal}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Portugal juin 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
6x + 2y &=& 5,\\
2x - 4y &=&-3.
\end{array}\right.\]

\item Les valeurs trouvées pour $x$ et $y$ dans la question précédente représentent les longueurs d'un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Calculer, avec deux décimales exactes, la longueur du deuxième côté de l'angle droit de ce triangle.
\item Donner la valeur en degrés des angles aigus de ce triangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On considère un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ et le rayon [OM] perpendiculaire à (AB).

D'un point C variable sur l'arc $\widearc{\text{AM}}$ on trace la corde [CD] de milieu I, parallèle à (AB).

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Trouver le lieu du point de rencontre G des médianes du triangle ACD lorsque C se déplace de A jusqu'en M.
\item Montrer que la différence des angles $\widehat{\text{C}}$ et $\widehat{\text{D}}$ du triangle ACD est égale à 1 droit.
\item Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur AB.

Montrer que le segment de droite [HI] a une longueur constante.

\item Calculer $\overline{\text{CH}}^2$ en fonction de $R$ et de OH $= x$.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. } Les quatre questions sont indépendantes.}
\end{document}