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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Portugal}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Portugal juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

À 8 h un cycliste part d'une ville A pour une ville B distante de $90$~km et roule à la vitesse de $20$~km à l'heure.

À 9~h~30 min une automobile part de B et se dirige vers A à la vitesse de $60$~km à l'heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle heure et à quelle distance de A se rencontreront-ils ?
\item Représenter graphiquement la marche des deux mobiles et retrouver sur ce graphique les résultats de la question précédente.
\item A $60$~km de la ville A le cycliste s'arrête 15~min puis repart à la même vitesse de $20$~km à l'heure.

L'automobiliste, arrivé en A, s'arrête~15 min et revient vers B à la même vitesse qu'à l'aller.

Déterminer graphiquement l'heure de l'arrivée en B des deux mobiles.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle ABC inscrit dans un cercle de centre O tel que le côté [BC] soit parallèle au diamètre [AOD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la différence des angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ de ce triangle est égale à $90\degres$ (on prendra $\widehat{\text{B}} > \widehat{\text{C}}$).
\item Soient A$'$ le pied de la hauteur issue de A et H l'orthocentre du triangle ABC.

Que pouvez-vous dire du triangle ABH ?

Comparez les segments [AA$'$] et [AH].
\item L'angle $\widehat{\text{A}}$ du triangle étant donné égal à $30\degres$, quelle est la valeur des angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ ?

Construire le triangle ABC, dans ce cas, en prenant le rayon du cercle circonscrit égal à $5$~cm. 

Expliquer la construction.

Calculer, toujours dans ce cas, la longueur du segment [AA$'$] et démontrer que les points O, B et H sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}