\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Portugal juin 1957},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Portugal}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Portugal juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de facteurs

\[5(2x + 1)^2- (2x + 1)(x - 1) = 0.\]
Pour quelles valeurs de $x$ le produit est-il nul ?
\item Développer
\[5(2x + 1)^2,\qquad (2x + 1)(x - 1).\]
\item Calculer et simplifier

\[A = \dfrac{3x - 6}{ 2x^2 - x - 1} - \dfrac{50x +25}{20x^2 + 20x + 5}.\]

Valeur numérique du résultat pour 
\[x = 2,\quad  x = 1, \quad x = - \sqrt 2.\]

(Dans ce dernier cas rendre le dénominateur rationnel.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soient deux cercles concentriques de centre O, l'un
de rayon $R$, l'autre de rayon $\dfrac{R}{2}$.

On mène la tangente en un point A du petit cercle ; elle coupe le grand cercle en B et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC et l'angle $\widehat{\text{BOC}}$.
\item (OB) et (OC) coupent respectivement le petit cercle en B$'$ et C$'$ ; (OA) coupe le grand cercle en I ; montrer que IB$'$ est tangent au petit cercle.
\item (IB$'$) coupe (BC) en J; (IC$'$) coupe (BC) en E ; montrer que  BD = DE = EC.

Quelle est la nature du quadrilatère ODIE ?
\item Lorsque A décrit le petit cercle, sur quelle ligne se déplacent les points D et E ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}