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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Portugal}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Portugal juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la courbe $D_1$ représentant les variations de la fonction $y = 2x - 3$.

On appellera A le point de $D_1$ situé sur l'axe des ordonnées.
\item  Par le point B de coordonnées $(x = 0~;~y =2)$, on trace la droite $D_2$ de coefficient angulaire $\left(- \dfrac12 \right)$.

Former l'équation de la fonction représentée par $D_2$.
\item $D_2$ coupe $D_1$ au point C.

Que peut-on dire du triangle ABC ?

Calculer les coordonnées du point C.
\item Former l'équation de la fonction représentée par la parallèle $D'_2$ à $D_2$ menée par le point A et celle de la fonction représentée par la parallèle $D'_1$ à $D_1$ menée par le point B.

On calculera le plus simplement possible les coordonnées du point de concours des diagonales du quadrilatère formé par les quatre droites $D_1,\: D_2,\: D'_1,\: D'_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle ABC et le cercle circonscrit à ce triangle.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ coupe le côté [BC] en D et le cercle circonscrit en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles ABD et AEC.
\item Démontrer que AB $\cdot$ AC = AE $\cdot$ AD.

En déduire que les triangles ACD et AEB sont semblables.
\item On suppose que l'angle A du triangle ABC mesure $60\degres$ ; on abaisse de B la perpendiculaire sur (AD), qui coupe (AD) en H et (AC) en K.

Que peut-on dire du triangle ABK ?
\item L'angle en A étant toujours égal à $60\degres$ et sachant, de plus, que [AB] mesure $6$~cm, calculer les longueurs respectives des segments [BH] et [AH].
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} Les questions 3. et 4. du problème de géométrie sont indépendantes des deux premières questions et peuvent être traitées avant celles-ci.}
\end{document}