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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Portugal}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Portugal juin 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Transformer en produits de facteurs les expressions suivantes :

\begin{center}$A(x) = 9x^2 + 6x + 1$\qquad et\qquad $B(x) = 9x^2 - 1$.\end{center}
\item On forme la fraction rationnelle $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Que devient $F(x)$ lorsqu'on donne à $x$ les valeurs $0,~\frac13,~- \frac13,~1$ ?
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentatives des fonctions $y = 3x + 1$ et $y = 3x - 1$.

Comment sont ces droites ?

On appelle C et D les intersections de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$  avec $x'Ox$.
\item Construire sur O$x$, au-delà de D, le point I tel que $\dfrac{\text{IC}}{\text{ID}} = 2$.

Montrer que, pour $x = \overline{\text{OI}}$, on a $F(x) = 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sur un axe $x'Ox$ on donne les points A, B et C, d'abscisses $\overline{\text{OA}} = - a, \:\overline{\text{OB}} =a,\: \overline{\text{OC}} = 2a$, \:$a$ étant un nombre positif.

Calculer le produit $\overline{\text{CA} \cdot \overline{\text{CB}}$.
\item Construire un cercle quelconque passant par A et B.

On appellera I son centre.

Construire une tangente à ce cercle, issue du point C.

Soit T le point de contact.

Calculer CT en fonction de $a$.
\item Soit le cercle de diamètre [IT].

Calculer la puissance de C par rapport à ce cercle.
\item La perpendiculaire à (IC) menée de T coupe (IC) en H et (OC) en K.

Montrer que le quadrilatère OKHI est inscriptible.

Calculer $\overline{\text{CO}} \cdot \overline{\text{CK}}$.

En déduire la valeur de CK. Montrer que le point K est fixe.
\end{enumerate}
\end{document}