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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{République Centreafricaine}}
\rfoot{\small{juin 1973}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges République Centreafricaine juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions réelles $f$, \: $g$ et $h$ définies pour tout réel $x$ par :
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&x - 2,\\
g(x) &=& 3x + 1,\\
h(x) &=& (2x - 4) (x  + 3)
\end{array}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(5 \cdot 10^{-1}\right), \:g(- 1,5),\: (g \circ f)\left(5 \cdot 10^{-1}\right)$ et $h(- 3)$.
\item Montrer que $q\left(\sqrt 3\right) = \sqrt{27}  + 4$, puis donner un
encadrement d'amplitude $10^{-3}$ du réel $g\left(\sqrt 3\right)$.

On peut à cet effet utiliser l'extrait de la table des carrés reproduit ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
$x$&\ldots&\np{5195}& \np{5196}&\np{5197} & \np{5198}&\ldots\\ \hline
$x^2$&\ldots&\np{26988 025}& \np{26988416}&\np{27008809}&\np{27019201}&\ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Énumérer tous les éléments de l'ensemble
\[\text{I}= \{x | x \in  \Z \quad \text{et}\quad g(x) \geqslant f(x)\quad \text{et}\quad x < 2\}.\]

\item Soit $P$ la fonction réelle définie, pour tout réel $x$, par 
\[P(x) = [f(x)]^2 + h(x).\]
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $P(x)$ sous la forme d'un polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$.
		\item Écrire $P(x)$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $P(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{N. B.} -  $\Z$ est l'ensemble des entiers.

$\R$ est l'ensemble des réels.


\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} dont l'unité de longueur est le centimètre, soit les points A$(- 2~;~1)$ et B(4~;~3)et les points C et D tels que $\vect{\text{OC}} = - 2\vect{\imath}$
 et $\vect{\text{OD}} = 6\vect{\imath}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des points C et D ?

Construire la figure.
\item Écrire chacun des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$ sous la 
forme $a\vect{\imath} + b\vect{\jmath}$\: ($a$ et $b$ réels).
\item Montrer que (A, B, D, C) est un parallélogramme, 
puis calculer les coordonnées du point I tel que 
\[\{\text{I}\} = (\text{AD}) \cap (\text{BC}).\]

\item Soit M$(x~;~y)$ un point quelconque du plan.

Montrer que $\vect{\text{MA}} + \vect{\text{MD}} = 2 \vect{\text{MI}}$.

À quel ensemble le point M appartient-il lorsque
$\left\|\vect{\text{MA}} + \vect{\text{MD}}\right\| = 4$ ?

On rappelle que si (K, L) est un représentant du vecteur $\vect{V}$, on a

norme de $\vect{V} = \left\|\vect{V}\right\| = \text{KL}$.
\end{enumerate}
\end{document}