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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ telles que,

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (7x + 15)(11x + 9)\\
g(x)&=&121x^2 - 81
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Calculer $f(0),\quad f\left(- \dfrac{9}{11}\right),\quad  f(- 3), \quad  f\left(\dfrac{3}{77}\right)$.
		
$f$ est-elle une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $g(x)$ sous forme d'un produit de deux polynômes du premier degré en $x$.
		\item Calculer $g(0), \quad g\left(- \dfrac{9}{11}\right),\quad  g\left(\sqrt 2\right),\quad g\left(- \sqrt 2\right)$.
		
$g$ est-elle une bijection de $\R$ dans $\R$ ?
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation : $g(x) = 0$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item l'équation $\dfrac{7x + 15}{11x - 9}$
		\item l'inéquation
$\dfrac{7x + 15}{11x - 9} \leqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item Un employé a le choix entre deux situations :
\begin{enumerate}
\item une première entreprise lui offre un salaire horaire de $7$ F, plus une prime de risques de $15$ F par jour ;
\item une deuxième entreprise lui offre un salaire horaire de $11$ F sur lequel on lui retient $9$ F de repas par jour.
\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction du nombre $x$ (nombre d'heures de travail par jour) les salaires journaliers de ces deux propositions.
		\item Pour quel temps de travail par jour sont-ils égaux ?
		
Au-dessus de ce temps, quelle est la proposition la plus intéressante ?
		\item Dans le plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé \Oij, construire les droites d'équation :
\begin{center}$7x - y + 15 = 0$ \quad et \quad $11x - y - 9 = 0$.\end{center}

Peut-on prévoir les coordonnées de leur point d'intersection ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 8\vect{\imath} - 2 \vect{\jmath},\qquad \vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}$\quad et \quad $\vect{\text{OC}} =  2\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C en indiquant leurs coordonnées.
		\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point B$'$ symétrique du point B par rapport à C.
		\item Montrer que le triangle (A, B, B$'$) est un triangle isocèle de sommet A.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une équation de la droite $(D)$ passant par A et C.
		\item En déduire l'ordonnée du point E d'abscisse $- 2$ qui appartient à la droite $(D)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la droite passant par les points A et B est tangente au cercle de centre E et de rayon EB.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le cosinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{CBA}}$.
		\item Calculer cet écart angulaire à un degré près par défaut, à l'aide des tables trigonométriques.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - La question \textbf{5.} ne dépend que de la question \textbf{1.}
\end{document}