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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $\left(1 - 2\sqrt 3\right)^2$.

Déterminer le plus grand des deux réels $1$ et $2\sqrt 3$.

En déduire l'écriture au moyen d'un seul radical de $\sqrt{13 - 4\sqrt 3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ l'application affine, de $\R$ dans $\R$, définie par

\[f(x) = ax + b.\]

Calculer les réels $a$ et $b$ sachant que

\begin{center}$f(-1) = 0$\qquad  et \qquad $f\left(\sqrt{13 - 4\sqrt 3}\right) = - \sqrt 3$.\end{center}
		\item Déterminer le sens de variation de $f$ et construire sa représentation graphique $(D)$ dans un plan muni d'un repère \Oij.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'application affine $g$ de $\R$ dans
$\R$, définie par

\[g(x)= - 4x + 3.\]

\begin{enumerate}
\item Quel est l'antécédent de chacun des réels $0$ et $3$ ?
\item Déterminer le sens de variation de $g$ et construire
sa représentation graphique $\left(D'\right)$ dans le même repère.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre, dans $\R \times \R$, le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + 2y + 1&=&0,\\
4x + y - 3&=&0.
\end{array}\right.\]

Vérifier graphiquement le résultat.

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}
on considère les points suivants :

\begin{center} A(3~;~4), \qquad B$(1~;~-2)$,\qquad C$(-2~;~-1)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Calculer les distances $d$(A, B) ;\: $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point I milieu de [AC].
		\item Soit D le symétrique de B par rapport à I.
		
Quelles sont les coordonnées du point D ?
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, C, D) ?
	\end{enumerate}
\item Soit I$'$ l'image de I par la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$. 

Déterminer les coordonnées de I$'$. 

Montrer que le quadrilatère (A, I$'$, B, I) est un losange.
\end{enumerate}
\end{document}