\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Reims juin 1965},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Reims}}
\rfoot{\small{juin 1965}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions suivante

\begin{center}$A(x) = \dfrac{4x^2 - 9}{4x^2 - 12x + 9}$\qquad et \qquad $B(x) = \dfrac{6x - 2x^2}{4x^2 + 6x}$\end{center}
et préciser pour quelles valeurs de $x$ ces simplifications ne sont pas légitimes.

Effectuer le quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Pour quelle valeur de $x$ ce quotient est-il égal à $0$ ; à $- 3$ ?

Calculer la valeur numérique de ce quotient pour $x = - \dfrac12$.
\item Représenter sur un même graphique les variations des fonctions
\begin{center}$y = 2x - 3$\qquad  et \qquad $y = - x + 3$.\end{center}
(On expliquera les constructions.)
\item Former l'équation de la droite parallèle à la droite d'équation $y = 2x - 3$ et passant par le point C dont les coordonnées sont $(4~;~- 2)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit une droite $x'\text{O}x$ et une droite $y'\text{O}y$ perpendiculaire à $x'x$ en O.

On porte sur la demi-droite O$y$ un point A tel que OA $= 4$~cm, sur la demi-droite O$x'$ un point B tel que OB $= 8$~cm et sur la demi-droite O$x$ un point C tel que OC $= 2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles BOA et AOC sont semblables.

En déduire que OB $\times$ OC = OA$^2$.

En déduire également la valeur de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\item On construit le cercle de centre O et de rayon OA qui coupe (AB) en M.

Par M, on trace la parallèle à (BC), qui coupe le cercle en D.

Montrer que les angles $\widehat{\text{MOB}}$ et $\widehat{\text{DOC}}$ sont égaux.

Montrer que $\dfrac{\text{OB}}{\text{OM}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OC}}$

Montrer que les triangles MOB et COD sont semblables.
\item Montrer que les points A, O, C, D appartiennent à un même cercle, dont on précisera la position du centre, I.
\item Montrer que (OI) est perpendiculaire à (AD) et que (OI) est parallèle à (DC).
\end{enumerate}
\end{document}