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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne le système d'équations suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c l l}
4x- y&=& 8,&(1)\\
3x+2y&=& 17.&(2)
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement ce système.
\item Retrouver graphiquement la solution du système proposé.
\item Par le point A de coordonnées $x = 0$ et $y = 4$, on construit la parallèle à la droite représentative de l'équation (1).

Former l'équation de cette parallèle et montrer que la droite d'équation $y = - \dfrac x4$ la rencontre au point A.
\item Les deux droites passant par A coupent l'axe $x'x$ en B et C.

Montrer que le triangle ABC est rectangle.

Calculer les longueurs des côtés de l'angle droit.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A et isocèle.

Une demi-droite [B$x$), intérieure à l'angle $\widehat{\text{B}}$, coupe (AC) en D.

La perpendiculaire abaissée de C sur [B$x$) rencontre [B$x$) en E et le prolongement de [BA] en F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que FD est perpendiculaire à BC. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BFD}}$.
\item Montrer que le quadrilatère ADEF est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre.
\item Montrer que les arcs $\wideparen{\text{AF}}$ et $\wideparen{\text{AD}}$ de ce cercle sont égaux.

En déduire que [EA) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BEF}}$.
\item Dans le cas particulier où l'angle $\widehat{\text{AB}x}$ vaut $30\degres$, calculer, en fonction de BC $= a$, les longueurs AB et AD et le rayon du cercle passant par A, D, E et F{}.
\end{enumerate}
\end{document}