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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression :
\[A(x) = 25x^2 - 1 + 2 (5x - 1)^2 - 3x(5x - 1) - 40x^2 + 8x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression $A(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre $A(x)$ sous [orme d'un produit de 2 facteurs du premier degré par rapport à la variable x : on trouvera $A(x) =(5x - 1) (4x - 1)$
\item Résoudre les équations: 
\[A(x) = 0, \qquad  A(x) = 1.\]
\item Soit l'expression $B(x) = 16 x^2 - 1$.

 Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ; soit $\dfrac{A'(x)}{B'(x)}$ la fraction simplifiée.
\item Représenter graphiquement dans un même système d'axes les fonctions:
\begin{center}$y_1 = 5x - 1$\qquad et\qquad $y_2 = 4x - 1$\end{center}
Utiliser le graphique pour résoudre l'équation $\dfrac{A'(x)}{B'(x)} = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On considère un trapèze ABCO dont les bases mesurent AB = 3~cm, CD = 6~cm.

O est le point de concours des diagonales [AC] et [BD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les rapports : $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}}$ et $\dfrac{\text{OB}}{\text{OD}}$.
\item M est le point d'intersection des droites (AD) et (BC).

Calculer les rapports $\dfrac{\text{MA}}{\text{MD}}$ et $\dfrac{\text{MB}}{\text{MC}}$.

Que représente O pour le triangle MDC ?
\item On suppose que, en outre, l'angle $\widehat{\text{ADC}} = 60\degres$ et que AD = 2~cm.

Calculer la mesure de la hauteur [AH] du trapèze et celle des segments  [BC], [DM] et [CM].
\item Calculer les rapports trigonométriques de l'angle $\widehat{\text{BCD}}$.

Quelle est la valeur approchée de cet angle en degrés et minutes, sachant que 

\[\begin{array}{l c l}
\tan 40\degres &=& \np{0,8391}\\
\tan 41\degres &=&\np{0,8693}
\end{array}\]
\end{enumerate}
\end{document}