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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Reims}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Reims juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[E(x) = (7 - 2x)^2- \left(4x^2 - 49\right) + (6x - 21)(8 + x).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $E(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'expression $E(x)$ est nulle.
\item Construire la droite représentant la fonction $y = 2x - 7$ dans un système d'axes rectangulaires $x'x $ et $y'y$ (unité : 1 cm sur les deux axes).

Placer sur cette droite les points A et B d'abscisses respectives $\dfrac32$ et 4.
\item Ces points se projettent en C et D sur $y'y$.

Calculer l'ordonnée, y, du point M de $y'y$ tel que 
\[3 \overline{\text{MC}} + 2 \overline{\text{MD}} = \vect{0}.\]
\item Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, [OC] le rayon perpendiculaire à (AB), M le milieu de l'arc $\wideparen{\text{AC}}$ et [MN] la corde parallèle à (AB).

(MN) et (MB) coupent le rayon [OC] respectivement en H et P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que N est le milieu de l'arc $\wideparen{\text{BC}}$.
\item Quelle est la nature du triangle MPC ?

Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{CMP}}$ ?
\item Comparer les triangles MPC et OMC et en déduire que CM est moyenne proportionnelle entre CP et CO.
\item Quelle est la nature du triangle OMH ?

Calculer OH et CH en fonction de $R$, puis, à un millième près, la tangente trigonométrique de l'angle $\widehat{\text{CMH}}$.
\end{enumerate}
\end{document}