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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

On considère la fonction polynôme $A$ qui, à tout réel $x$, fait correspondre le nombre réel $A(x)$ tel que
\[A(x) = \left(x^2 - 22\right)^2 - 9.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation 
\[A(x) = 0.\]

Certaines des solutions de cette équation sont des nombres non rationnels ; on en donnera une valeur décimale approchée par défaut à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ réels tels que l'on ait simultanément

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2y - x + 2&=&0,\\
y + x - 5&=&0.
\end{array}\right.\]

\item Retrouver ces résultats à l'aide d'une représentation graphique.
\item Déterminer graphiquement l'ensemble des couples $(x,~y)$ de nombres entiers tels que l'on ait simultanément

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2y - x + 2&>&0,\\
y + x - 5&<&0\\
y - 2x + 4&<& 0.
\end{array}\right.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B. }Les exercices I et II  sont indépendants.

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Le plan $(P)$ est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants donnés par leurs coordonnées:
\begin{center}A(2~;~3),\quad C(5~;~2)\quad et \quad D(4~;~1).\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le triplet (A, C, D) détermine un triangle rectangle en D.
		\item Donner une valeur approchée, à une unité près par défaut, de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{CAD}}$ (unité : le degré).

On commencera par déterminer, la tangente de cet écart angulaire, que l'on pourra noter, $\tan \widehat{\text{CAD}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu du bipoint (A, C).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de I.
		\item Soit B le symétrique de D par rapport au point I.
		
Déterminer les coordonnées de B.

Quelle  est la nature du quadrilatère défini par (A, B, C, D) ?
	\end{enumerate}
\item Soit H et K les projetés orthogonaux respectifs des points A et C sur la droite (BD).

Quelle est la du quadrilatère défini par (A, H, C, K) ?

Quel est le centre de symétrie de ce quadrilatère?

\emph{Extrait de tables numériques}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &17 &18 &19 &20\\ \hline
$\sqrt n$&4,123&4,243&4,359&4,472\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
degrés&25&26&27&28\\ \hline
tangente&0,4663 &0,4877&0,509 5&0,5317\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}