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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par : 
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(4x - 1)^2 - (2x - 7)^2\\
g(x)&=&(3x - 4)^2 - 2(3x - 4)(5x + 7)
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier
degré.
		\item Calculer $g\left(\dfrac43\right)$ et $g\left(-\dfrac{18}{7}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{4(3x - 4)(x + 3)}{ (3x - 4)(-7x - 18)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$.
		\item Donner une écriture simplifiée de $h(x)$ pour tout $x$ élément de $\mathcal{D}$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ ; donner le résultat sous la forme d'un quotient ayant un dénominateur entier.
		\item Résoudre dans $\R$ les équations : $h(x) = 0 \:;\: h(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Soit un plan $(P)$ euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Construire les représentations graphiques $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des fonctions affines $a$ et $b$ de $\R$ dans $\R$ définies par : 
\[\begin{array}{l c l}
a(x) &= &\phantom{-}4x + 12 \quad \left(D_1\right)\\
b(x) &=&-7x - 18 \quad \left(D_2\right)
\end{array}\]
		\item On pose $\left(D_1\right) \cap \left(D_2\right) = \{\text{M}\}$.
		
Calculer les coordonnées du point M.
		\item Soit R le point de $\left(D_2\right)$ d'ordonnée 3.
		
Calculer son abscisse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

On considère un repère orthonormé \Oij{} du plan euclidien $(P)$ et les points
\begin{center}A$(-2~;~0)$;\qquad  B (2~;~2); \qquad  C$(1~;~-1)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C.
\item Montrer que le triangle (ABC) est rectangle et isocèle.
\item Soit D le point tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{AB}}$.

Calculer les coordonnées de D.
\item Montrer que les droites (BD) et (BC) sont orthogonales.
\item Soit E l'image du point D dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BC).

Calculer les coordonnées de E.
\item Montrer que les quatre points A, C, B, E appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}