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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 4x^2 - 12x,\\
g(x) &=&(x - 3)(5x - 3)- (2x + 5)(3 - x) - (2x - 6)(2x - 1).\\
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item On désigne par $F(x )$ la fonction définie de $\R$ vers $\R$ par
\[F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Après avoir précisé le domaine de définition, simplifier $F(x)$.
\item Soit $g$ et $h$ les applications définies de $\R$ vers $\R$ par

\begin{center}$g(x) = 4x$\quad  et \quad $h(x)=3x + 4$.\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer pour tout $x$ réel, $g \circ h(x)$ et $h \circ g(x)$,
puis l'image de $-\dfrac43$ par $g \circ h$.
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{F'}$ de la fonction rationnelle .
\[\begin{array}{l c l}
\mathcal{D}_{F'}&\to&\R\\
x& \mapsto &\dfrac{4x}{3x + 4}\\
\end{array}\]

puis résoudre, dans $\R$ l'équation $F'(x) = 1$.
		\item Représenter graphiquement dans un repère
orthonormé \Oij{} les fonctions $g$ et $h$ puis,
retrouver graphiquement la solution de l'équation $F'(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un repère orthonormé \Ouv{} du plan $P$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les points D, E, F et G tels que

\begin{center}$\vect{\text{OD}} =- \vect{u} -2\vect{v},\quad \vect{\text{OE}} =- 3\vect{u} ,\quad \vect{\text{OF}} = 2\vect{u} -\vect{v}$,\quad et $\vect{\text{OG}} = 4\vect{u} -3\vect{v}$\end{center}
\item Quelle est la nature du quadruplet (E, D, G, F) ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances $d$(O, D) et $d$(O, F).
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{OD}}$ et $\vect{\text{OF}}$ sont orthogonaux.
		\item En déduire la nature du triangle (O, D, F).
	\end{enumerate}	
\item Expliquer pourquoi le point I$\left(\dfrac12~;~- \dfrac32\right)$ est le
centre d'un cercle passant par les points O, D et F, puis calculer le rayon de ce cercle.
\item Soit le point K tel que 
\[\vect{\text{OK}} = \vect{\text{OD}}+ \vect{\text{OE}} + \vect{\text{OF}} + \vect{\text{OG}}.\]

Calculer les composantes du vecteur $\vect{\text{OK}}$.

Montrer que les points O, I et K sont alignés.
\item Soit le point L tel que $\vect{\text{OL}} = 3\vect{u} + \vect{v}$.

Démontrer que la droite (OL) est la tangente en O au cercle de centre I et de rayon (I,~O).
\end{enumerate}
\end{document}