\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Reims juin 1986},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1986}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

En utilisant des produits remarquables différents, calculer:

\[993^2\:;\qquad 108^2\:;\qquad 27 \times 33.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Mettre sous forme d'un produit de facteurs:

\[A = 7a + 21a^2\:;\qquad  B = 3x^2 + 12xy + x + 4y.\]


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Calculer :

\[(-3)^3\:;\qquad  \sqrt{5^4}\:;\qquad \left(\dfrac34\right)^3 \times \left(\dfrac{-2}{3}\right)^3\:;\qquad \left[2^3 \times \left(- \dfrac13 \right)^2\right]^2\]

Exprimer $\dfrac{6}{3 - \sqrt 3}$ sous la forme $a + b \sqrt 3$ ($a$ et $b$ 
entiers relatifs).
\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Mettre sous forme de fraction irréductible :

\[\dfrac{15}{8} - \dfrac{5}{12} - \dfrac56\:;\qquad -15 \times  \left(- \dfrac19\right) \times \dfrac{18}{25}\:; \qquad \dfrac{1 - \dfrac34}{1 + \dfrac34}.\]

\emph{Exercice de géométrie ou de statistique au choix}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\bigskip

Construire un triangle ABC équilatéral. La longueur de chaque côté est de 8 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la médiane [AI], en expliquant brièvement la construction.
\item La droite (AI) est-elle perpendiculaire à la droite (BC) ? Pourquoi ?
\item Calculer la longueur AI.
\item Soit J le point de [AC] tel que CJ $= 2$ cm. La parallèle à (AI) passant par J coupe (BC) en K.

Calculer la longueur CK.
\item Soit H le point symétrique du point I par rapport au milieu O de [AC].

Quelle est la nature du quadrilatère AHCI ? Justifier.
\item Quelle est la nature du quadrilatère AHIB? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Statistique}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item L'Institut Pasteur est financé de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item redevances industrielles : $12\,\%$ ;
\item ressources propres : $27\,\%$ ;
\item concours privés: (à déterminer) ;
\item État : (à déterminer).
\end{itemize}

Représenter ce financement par un diagramme à secteurs circulaires. 

On prendra un diamètre de $10$~cm et on fera l'hypothèse que la part de l'État dans ce diagramme est un secteur dont l'angle est $180\degres$.
\item Calculer les pourcentages du financement de l'Institut Pasteur provenant, d'une part, de l'État et d'autre part, des concours privés.
\item Calculer l'aire des secteurs correspondant à chaque source de financement à $0,1$~cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Avant l'achat d'une voiture, une personne hésite pour un modèle, entre la venion essence et la version gazole.

Elle compare leur consommation moyenne et le coût du carburant pour une vitesse de $90$~km/h :

\begin{itemize}
\item version essence: 6 litres de super pour 100 km, à 4,75 F le litre ;
\item version gazole : 5 litres de gazole pour 100 km, à 3,50~F le litre.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize Distance (en (km)&\footnotesize Consommation de super (en l)&\footnotesize Coût du super (en F)&\footnotesize Consommation de gazole (en l)&\footnotesize Coût du gazole (en F)\\ \hline
100 		&	&		&		& \\ \hline
200 		&	&		&		& \\ \hline
			&15	&		&		& \\ \hline
			&	&		&		& \\ \hline
			&	&		&17,5	&\\ \hline
			&	&128,25	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On se propose de représenter graphiquement les coûts en fonction des distances parcourues, dans un repère orthogonal.

En abscisse, 1 cm représente une distance de 2S km.

En ordonnée, 1 cm représente un coût de $5$~F.

Placer les points correspondant au tableau ci-dessus. Joindre les points. 

Que remarque-t-on ? Pouvait-on le prévoir ?
\item Utiliser la représentation graphique pour déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item le coût du super pour parcourir $300$~km,
		\item la distance parcourue avec $57,50$~F de gazole.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}