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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small juin 1988}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer en simplifiant au maximum l'écriture du résultat :

\medskip

$A = \sqrt{18} -2\sqrt{50} + \sqrt{32}$ \quad (le mettre sous la forme $a\sqrt b$)

$B = 2\sqrt2\left(3\sqrt 2 + 4\right)$

$C = \left|\dfrac25 - 1\right|$


$D = \dfrac{2^2 \times 5 \times \left(2^3\right)^4 \times 5^6}{\left(5^2\right)^3 \times  2^4 \times 2^7}$

$E = \dfrac{\dfrac23 + \dfrac45}{\dfrac{3}{10} + \dfrac12}$

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sans radicaux au dénominateur :

\[\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2 + 1}.\]

\item Calculer : $\left(2 - \sqrt 2\right)^2$
\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$,
déterminer un encadrement de $6 - 4\sqrt 2$.

En déduire la valeur approchée à $10^{-2}$ près par excès de
$6 - 4\sqrt 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes. 

Dans chaque cas, donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $3x-5 \leqslant x - 1$.
\item $2x - 7 < 5x + 2$.
\item En déduire l'intervalle de $\R$ constitué par les solutions du système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x-5 	&\leqslant	& x - 1\\
2x - 7 	&<			& 5x + 2.
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

1. Dans un repère orthonormé \Oij, unité : 1 cm, placer les points :

\begin{center}A$(-2~;~ -2)$,\qquad B$(-4~;~2)$, \qquad C(6~;~2)\end{center}

(Figure sur papier millimétré.) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux.
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un rectangle.
\item Déterminer les coordonnées de I, centre de symétrie du rectangle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un triangle ABC tel que AB $= 48$ mm, AC $= 64$ mm, BC $= 80$ mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que ce triangle est rectangle en A.
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{ADC}}$. En déduire la mesure de $\widehat{\text{ADC}}$ (à 1 degré près par défaut).

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degré &Sinus \\ \hline
51 	&0,777 \\ \hline
52 	&0,788 \\ \hline
53 	&0,799 \\ \hline
54 	&0,809 \\ \hline
55 	&0,819 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit L un point de [AC] tel que AL  $= 40$~mm. 

Par L on mène la parallèle à (BC) ; elle coupe [AB] en K.

Calculer $\dfrac{\text{AL}}{\text{AC}}$. En déduire AK.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On considère l'application $f$ définie de $\R$ dans $\R$ telle que :

\[f(x) = (3x-1)^2 - (x + 2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Ecrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du 1\up{er} degré.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$. Donner l'ensemble des solutions $S$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ l'application définie de $\R$ dans $\R$ telle que $g(x) = (2x + 3)(2x - 3) + 4x(x - 2) + 3$.

Développer, réduire et ordonner $g(x)$.
\item Déterminer l'expression $f(x) - g(x)$. (On prendra les expressions développées de $f(x)$ et $g(x)$.)
\item Soit l'application $h$ telle que

\[\begin{array}{r c l}
h : \R& \to & \R\\
x &\longmapsto&h(x) = - 2x + 3.
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la nature de $h$.
		\item Construire sa représentation graphique $D_1$ dans un repère
orthonormé \Oij{} (sur papier millimétré).
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point M d'intersection de $D_1$ et de l'axe des abscisses.
\item Déterminer l'équation de la droite $D_2$ parallèle à $D_1$ passant par O. 

La tracer.
\end{enumerate}
\end{document}