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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression
\[F(x) = \dfrac{3x^2 - 4}{4 - x^2} + \dfrac{4}{2 - x} - \dfrac{2}{x + 2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Préciser son ensemble de définition, puis la mettre
sous sa forme la plus simple possible.
		\item Calculer sa valeur numérique pour 
\begin{center}$x = -\dfrac12,$\qquad pour $x = - 2$\quad et \quad pour $x = \sqrt 3$\end{center}
	\end{enumerate}
\item Tracer, dans un repère orthonormé (l'unité imposée sur les axes mesurant 1 cm), les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant les fonctions
\begin{center}$y_1 = 3x$\qquad  et\qquad $y_2 = 2 - x$.\end{center}

Lire les coordonnées de leur point d'intersection, A, et vérifier ce résultat par le calcul.
\item Tracer dans le même repère la droite $\left(D_3\right)$ représentant la fonction $y_3 = -\dfrac x 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point B, intersection de $\left(D_2\right)$ et de $\left(D_3\right)$.
		\item Calculer les mesures des côtés [OA] et [OB] du triangle OAB.
		\item Démontrer que ce triangle est rectangle en O.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un carré ABCD est tel que AB $ = a$.

On trace le demi-cercle de diamètre [CD], de centre O, intérieur au carré.

On mène de A la tangente [AM) à ce demi-cercle : cette dernière droite coupe (BC) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle AON est rectangle.

Calculer MN en fonction de $a$ ; en déduire les longueurs des segments [NC] et [NB].

Préciser alors la position de N sur le côté [BC].
\item Le rayon [OM] coupe le côté [BC] en E.

Démontrer que ME = BE.

On pose BE $= x$ ; exprimer, en fonction de $x$ et de $a$, les mesures des trois côtés du triangle OEC.
\item En utilisant les relations métriques dans le triangle rectangle OEC, calculer $x$ en fonction de $a$.

Préciser alors la position de E sur le côté [BC].
\item Exprimer en fonction de $a$ la longueur du segment [OE] et l'aire du triangle AOE.
\end{enumerate}
\end{document}