\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Reims septembre 1975},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Reims}}
\rfoot{\small{septembre 1975}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Reims septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

 On considère les fonctions affines $g$ et $h$ de $\R$ dans $\R$, définie
\[\begin{array}{l c l}
x&\longmapsto&g(x) = 8x - 5\\
x&\longmapsto&h(x) = 4x+ 1.
\end{array}\]

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement les deux fonctions $g$ et $h$.

Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d'intersection A des représentations graphiques des fonctions $g$ et $h$.
\item Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique est la droite (OA).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

Soit la fonction polynôme 
\[\begin{array}{l l c l}
P : &\R& \to& \R\\
&x&\longmapsto&P(x) = (2x + 3)^2 - \left(4x^2 - 9\right) - (2x + 3)(5 - x)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $P(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$, l'équation $P(x) = 0$.
\item Calculer $P\left(\dfrac12\right)$ et $P\left(\sqrt 2\right)$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, donner une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $P\left(\sqrt 2\right)$.
\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij,
 placer les points M, N, P, tels que :
\begin{center}$\vect{\text{OM}} = - 2\vect{\imath} - \vect{\jmath},\quad \vect{\text{ON}} =  2\vect{\imath} - 3\vect{\jmath},\quad \vect{\text{OP}} = \vect{\imath} + 5 \vect{\jmath}$\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}},\: \vect{\text{NP}},\: \vect{\text{PM}}$.
		\item Calculer $d$(M, N) ; $d$(N, P) ; $d$(P{}, M).
		\item Montrer que le triangle (M, N, P) est rectangle.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur de la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{MNP}}$.

Donner un encadrement d'amplitude $1\degres$ de cet écart angulaire.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de I milieu du bipoint (P, N).
		\item Calculer les coordonnées du point S symétrique du point M par
rapport à I.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les triangles (M, N, P) et (S, P, N) sont isométriques.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{TABLE}\\[7pt]

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés &Tangentes\\ \hline
55&1,4281\\ \hline
56&1,4826\\ \hline
57&1,5399\\ \hline
58&1,6003\\ \hline
59&1,6643\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{N. B.} : d(M, N), noté aussi MN, désigne la distance des deux points M et N.

\end{document}