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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La fonction polynôme $f$ est définie par 
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R & \to &\R\\
&x &\mapsto& f(x) = \left(\dfrac34 x - 1\right)^2 - \left(\dfrac74 x + 5\right)^2
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Calculer le réel $f\left(\sqrt 3 - 2\right)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions affines $g$ et $h$ 
\[\begin{array}{l l c l}
g :&\R & \to &\R\\
&x &\mapsto&g(x) = x +6,\phantom{ \dfrac12}\\
\end{array}\qquad \begin{array}{l l c l}
h:&\R & \to &\R\\
&x &\mapsto&h(x) = - \dfrac52 x - 4.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Tracer les représentations graphiques $\left(d_1\right)$ de $g$ et $\left(d_2\right)$ de $h$ dans un plan muni d'un repère cartésien \Oij.
		\item Quelles sont les coordonnées du point M commun aux deux droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$?
		\item Représenter graphiquement J'ensemble des solutions, dans $\R \times \R$ du système d'inéquation
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - y + 6 &>&0,\\
\dfrac52 x + y + 4&<&0.
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large GÉOMÉTRIE}
\end{center}

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points
\begin{center}A(10~;~2),\qquad B(8~;~5)\quad et \quad C(2~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Le point D est le symétrique de B par rapport à A. 

Le point E est défini par l'égalité vectorielle
\[\vect{\text{BE}} = 2\vect{\text{OC}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de D et celles de E.
		\item Démontrer que les droites (AC) et (DE) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item On désigne par H l'image du point B par la projection orthogonale sur la droite (DE).
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le centre du cercle qui passe par les trois points B, D et H ?
		\item Démontrer que ce cercle, que l'on désignera par
$\mathcal{C})$, est tangent à la droite (BC).
		\item Démontrer que la droite (AC) est la médiatrice du
segment [BH]. (Cette question ne nécessite aucun calcul.)

En déduire que les triangles (A, B, C) et (A, H, C) sont isométriques et que la droite (CH) est tangente au cercle $\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}