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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[\begin{array}{l l c l}
f:&\R&\o&\R\\
&x&\longmapsto&f(x) =(3x - 5)^2 - (2x - 1)^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Mettre $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		
Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(3)$ et $f\left(\dfrac{11}{5}\right)$. 
		
Montrer que $f$ n'est pas une bijection.
		\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$.
		
Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, donner un encadrement de $f\left(\sqrt 2\right)$ de la forme $\left]a \cdot 10^{-1}~;~(a + 1) \cdot 10^{-1}\right[$,\: $a \in \Z$.
	\end{enumerate}
\item Soit $q$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par


\[q(x) = \dfrac{f(x)}{5x^2 - 6x}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $E$ de la fonction $q$ ?
		\item Donner une écriture simplifiée de $q(x)$ pour tout $x$ élément de $E$.
		\item 
Résoudre dans $\R$ l'équation $q(x) = - \dfrac73$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A$(3~;~ - 1)$ et B$(-1~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points C et D tels que $\vect{\text{OC}} = - 2\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OD}} =- 2\vect{\text{0B}}$ puis calculer leurs coordonnées.
\item Calculer les coordonnées des milieux respectifs I et J des bipoints (A, B) et (C, D).

En déduire que les points O, I et J sont alignés.
\item Vérifier par le calcul qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{\text{CD}} = k\vect{\text{AB}}$.

Que peut-on en déduire pour les droites (CD) et (AB) ?
\item Montrer que le triangle ABD est rectangle.

Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle ?

Calculer son rayon.
\item Soit E l'autre extrémité du diamètre issu de D de ce cercle.

Quelle est la nature du quadruplet (A, E, B, D) ?
\end{enumerate}
\end{document}