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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions suivantes:
\[\begin{array}{l l c l}
f :& \R &\to& \R\\
&x &\longmapsto& 2x - 5
\end{array} \qquad \text{et}\quad  \begin{array}{l l c l}
g :& \R &\to& \R\\
&x &\longmapsto& 2x + 5
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $(f\circ g)(x), \quad  f(x)\times g(x), \quad g\left(-\dfrac52\right)$.
\item Résoudre dans $\R$, puis dans $\Z$ l'équation suivante :
\[f(x) \cdot  g(x)  = 0.\]
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $f(x) \leqslant 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $h$ de $\R$ dans $\R$ définie de la façon suivante:

\[h : x \longmapsto h(x) = \dfrac{- 4x^2 + 25 -  3(2x + 5)}{x . g(x)}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $h$.
\item Simplifier $h(x)$.
\item Calculer $h\left(- \sqrt 2\right)$. On rendra rationnel le dénominateur de $h\left(- \sqrt 2\right)$.

Donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de $h\left(- \sqrt 2\right)$ 

(On rappelle que $1,41 < \sqrt 2 < 1,42)$.
\item Déterminer les réels s'ils existent. ayant pour image par $h$ : $\dfrac{14}{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\emph{Le candidat illustrera par un dessin le problème suivant }:

\medskip

Dans le plan $(P)$ rapporté au repère orthonormé \Oij, on donne les points
A, B, C par leurs coordonnées
\begin{center}A$(- 4~;~3)$,\quad B(1~;~5), \quad C(3~;~0)\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point D pour que le quadruplet (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Calculer les normes suivantes: $\left\|\vect{\text{AB}}\right\|, \: \left\|\vect{\text{AD}}\right\|, \: \left\|\vect{\text{AC}}\right\|$.

En déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle isocèle.
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Calculer les coordonnées du milieu E de [BD].

Quelle est l'image du point A dans la symétrie centrale de centre E ?
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au quadruplet (A, B, C, D).
\item Soit $a$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABD}}$.

Calculer $a, \:\sin a, \: \cos a, \: \tan a$.
\end{enumerate}
\end{document}