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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\Z$, les équations suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
2x - 7&=&0 \:;\\
3x + 6&=& 0 \;;\\
2x - 7 - (3x + 6)&=&0.
\end{array}\]

vOn considère les deux fonctions affines, de $\R$ dans $\R$, définies par
\begin{center}$f(x)=2x - 7$\quad  et \quad $g(x) = 3x +6$.\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan rapporté à un repère \Oij, construire les représentations graphiques $(D)$ et $(D')$ des fonctions affines $f$ et $g$.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(D)$ et $(D')$.
	\end{enumerate}
\item Soit $t$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[t(x) = \dfrac{(3x + 5)^2 - (2x + 3)^2}{(2x - 7)(3x + 6)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine de définition de $t$.
		\item Simplifier $t(x)$.
		\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$; écrire la réponse sous la forme
$\dfrac ab, \: a \in \R,\: b \in \N$.
		\item Sachant que $1,732< \sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement de $f\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points

\begin{center}A(0~;~4)\:;\qquad B$(-2~;~0)$\:;\qquad  C$(6~;~- 4)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Trouver les coordonnées du milieu I du bipoint (A, C) et montrer que les points I, O et B sont alignés.
\item Soit le point K$(2~;~-2)$. 

Montrer que les droites (I, K) et (A, B) sont parallèles.
\item Trouver les coordonnées $(x~;~y)$ du point M, symétrique de C par rapport à O.

Montrer que $\vect{\text{AM}} = 2\vect{\text{IO}}$.
\item Calculer $d$(M~;~I); $d$(O~;~K); $d$(M~;~K). 

Le triangle (M, I, K) est-il rectangle ? Justifier la réponse.
\item $\alpha$ désignant l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAO}}$, calculer $\tan \alpha$ et $\alpha$ en grades.
\end{enumerate}
\end{document}