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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Reims}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer : $A = \left(\dfrac{14}{15} \times\dfrac{12}{7}\right) - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}\right)$ ;

\phantom{Calculer :} $B = \sqrt{50} -3\sqrt{98} + 5\sqrt{72}.$

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

2. On considère

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3x -1)^2 - 4(x + 2)^2 ;\\
g(x)&=& x^2-10x + 25 - (x - 5)(x + 1).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$.
\item Factoriser $g(x)$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un véhicule parcourt, en une seconde, $3,60$ m. 

Calculer le nombre de kilomètres qu'il parcourt en une heure.

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\emph{Le candidat traitera, au choix, un et un seulement des exercices {\rm A} et {\rm B} ci-après.}

\medskip

\textbf{Exercice A : géométrie}

\medskip

\textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit deux points A et B distincts du plan et O le milieu du segment [AB].

Représenter le cercle de diamètre [AB] et de centre O.

Construire la médiatrice $\Delta$ de [AO]. $\Delta$ coupe le cercle en deux points C et D.

Démontrer que le quadrilatère ACOD est un losange.
\item Construire un triangle EFG rectangle en E, dans lequel EF $= 2$~cm et FG $= 4$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur EG.
		\item Calculer $\sin \widehat{\text{EFG}}$.
		\item Soit F$'$ le symétrique de F dans la symétrie orthogonale d'axe (EG).
		
Démontrer que le triangle FGF$'$ est équilatéral.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B : statistiques}

\medskip

Dans le cadre du Plan Informatique pour Tous, les enseignants de Champagne-Ardenne ont effectué des stages d'initiation. Les participants se sont répartis de la façon
uivante:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{X r X r}
Ardennes : &660 ; &Aube : &646 ;\\
Marne :&1114 ;& Haute-Marne :& 629
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux de participation de chaque départe- ment par rapport à l'ensemble de la région.
\item La totalité des participants est représentée par l'aire d'un disque de rayon $2,5$ cm.

Après avoir exprimé l'ouverture (ou angle au centre) en degrés, représenter chaque département par un secteur dont l'ouverture (ou l'angle au centre) est proportionnelle au nombre de participants.

Une telle représentation est appelée \og diagramme à secteur circulaires \fg.
\item Calculer l'aire de chaque secteur en mm$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

La SNCF propose aux jeunes les deux possibilités suivantes : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Option 1 : tarif normal à $0,40$~F le kilomètre ;
\item[$\bullet~~$] Option 2: la carte \og Carré Jeune \fg{} qui coûte $140$~F et qui permet ensuite de bénéficier d'un tarif réduit à $0,20$~F le kilomètre.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre de kilomètres parcourus. 

Exprimer en fonction de $x$ le prix payé, $F_1(x)$ pour l'option 1 et $F_2(x)$ pour l'option 2.
\item Le plan est muni d'un repère orthogonal. 

Représenter graphiquement $F_1$ et $F_2$. 

On prendra en abscisse 1~cm pour
$100$~km et en ordonnée 1~cm pour $40$~F{}.
\item Déterminer le kilométrage correspondant à un même prix pour les deux options.

Quel est ce prix ?
\item En utilisant le graphique, indiquer l'option la plus avantageuse suivant les valeurs de $x$.
\item Un jeune, possédant une carte lui permettant de bénéficier d'une réduction de 30\,\% par rapport au tarif normal de $0,40$~F par kilomètre (famille nombreuse), dispose d'une troisième possibilité :

$\bullet~~$ Option 3 : tarif réduit à $0,28$~F le kilomètre.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ le prix payé $F_3(x)$ pour
l'option 3.
		\item Représenter $F_3$ sur le même graphique que $F_1$ et $F_2$.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ l'option 3 est-elle plus avantageuse que l'option 2?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}