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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Reims}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Développer, réduire et simplifier l'expression suivante:

\[3(2a + 3)^2 - (5a - 4)^2.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Factoriser au maximum l'expression suivante :

\[\left(9a^2 - 6a + 1\right) - \left(25a^2 + 30a + 9\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Effectuer les calculs en écrivant les résultats sans radical au dénominateur et en sortant le plus grand entier possible de radicaux:

\[\sqrt{75} \times \sqrt{80}, \qquad \sqrt{72} + \sqrt{128}, \qquad \dfrac{\sqrt 3 - \sqrt 5}{\sqrt 3 + \sqrt 5}  + \dfrac{\sqrt 3 + \sqrt 5}{\sqrt 3 - \sqrt 5}\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que

AB = 5 cm, $\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$ et AC $= 8$ cm.

Le point H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
\item En utilisant les fonctions trigonométriques de $30\degres$, calculer exactement les mesures CH, AH.

En déduire BH.
\item Sachant que $1,73< \sqrt 3 < 1,74$, encadrer BH à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soient les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[f(x) = - \dfrac92 x - 5\qquad \text{et} \qquad g(x)=  \dfrac{7x+4}{6}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(- 2)\: ; f(0)\:; g(2)$ et $g(- 4)$.
\item Représenter graphiquement $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère \Oij.
\item Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = g(x)$ et vérifier votre réponse graphiquement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère \Oij{} orthonormé, d'unité $1$~cm, on considère les points

\begin{center}A$(-2~;~-2)$,\qquad B(5~;~2) \quad et \quad C $(-8~;~1;)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin sur papier millimétré.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.
\item Écrire une équation de la droite (BC).
\item Écrire une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
\item En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur (BC).

Vérifier les calculs en plaçant H sur le dessin.
\item À l'aide du calcul exact des mesures nécessaires, vérifier que :

\[\text{BA}^2 = \text{BH} \times \text{BC}\]
\end{enumerate}
\end{document}