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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small septembre 1993}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression suivante ; réduire et ordonner. 

\[F = (3x- 5)^2- (3x - 5)(4x + 3)+ 9x^2 - 25\]

\item Factoriser l'expression $F$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression 

\[A = a(b - c + 1)+ b(c - a + 1) + c(a - b + 1)\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Calculer la valeur de $A$ lorsque :

\[a = \dfrac13\: ;\quad  b = 1 + \dfrac13 \:;\quad  c = \dfrac{1}{1 + \dfrac12}\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Effectuer le calcul suivant en donnant le résultat sous la forme $a\sqrt 2$, 
$a$ étant un entier relatif.

\[B = 2\sqrt 8 - 8\sqrt 2 + 3\left(\sqrt 2\right)^3 - \sqrt{50}.\]

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un cube d'un mètre d'arête. Au centre de sa face supérieure, on plante perpendiculairement un mât [SH] de un mètre de haut.

On construit ainsi une pyramide de sommet S et de base carrée ABCD, qui est un agrandissement de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ .

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rapport d'agrandissement $\dfrac{\text{SH}}{\text{SH}'}$ et la longueur du côté [AB].
\item Quel est le volume de la pyramide supérieure SA$'$B$'$C$'$D$'$ ?
\item Quel est le volume de la grande pyramide SABCD ?
\item Quel est le volume limité par le plan ABB$'$A$'$, la face du cube A$'$B$'$NM et les deux triangles AMA$'$ et BNB$'$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-1.2)(3.4,5.2)
\psline(0,4.8)(-3.2,-1)(1.8,-1)(0,4.8)(3.2,1)(1.8,-1)%SABSCB
\uput[u](0,4.8){S} \uput[dl](-3.2,-1){A} \uput[dr](1.8,-1){B} \uput[r](3.2,1){C} \uput[l](-1.8,1){D}
\psline(-1.6,1.9)(0.9,1.9)(1.6,2.9)(-0.9,2.9)%A'B'C'D'
\uput[l](-1.6,1.9){A$'$} \uput[r](0.9,1.9){B$'$} \uput[ur](1.6,2.9){C$'$}\uput[ur](-0.9,2.9){D$'$}
\uput[ur](0,0){H}\uput[ul](0,2.5){H$'$}\uput[d](-1.6,-.5){M}\uput[d](0.9,-.5){N}
\psline(-1.6,1.9)(1.6,2.9)%A'C'
\psline(0.9,1.9)(-0.9,2.9)%B'D'
\psline(0.9,-.5)(1.6,0.5)(1.6,2.9)(0.9,1.9)%N?C'B'
\pspolygon(-1.6,-.5)(0.9,-.5)(0.9,1.9)(-1.6,1.9)%MNB'A'
\psline(0,2.6)(0.2,2.7)(0.2,2.5)
\psline[linestyle=dashed](0,4.8)%SH
\pspolygon[linestyle=dashed](-3.2,-1)(3.2,1)(-1.8,1)%ACD
\psline[linestyle=dashed](0,4.8)(-1.8,1)%SD
\psline[linestyle=dashed](1.8,-1)(-1.8,1)%BD
\psline(-1.6,1.9)(-0.9,2.9)%A'D'
\psline[linestyle=dashed](1.6,0.5)(-0.9,.5)(-1.6,-.5)%
\psline[linestyle=dashed](-0.9,.5)(-0.9,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les trois questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\pspolygon(0,0)(1,2)(3,1)%CAB
\pspolygon(0,0)(1,1)(2,1)%CDE
\uput[dl](0,0){C} \uput[l](0,4.8){F} \uput[ur](1,2){A} \uput[u](1,1){D}
\uput[ur](2,1){E} \uput[d](2,0){G} \uput[r](3,1){B}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans cette figure, chaque carré a pour côté 1,3 cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur des côtés du triangle ABC. 

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Quelle est l'aire du triangle CDE ? 
\item Donner l'angle $\widehat{\text{DCE}}$ à $0,1\degres$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\emph{Le repère est orthonormal, et l'unité le centimètre.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans ce repère la droite $D$ d'équation $y = 4x+ 2$, et
la droite $\Delta$ d'équation $y = 0,125x - 1,875$.
\item À quelles droites appartiennent les points E$(- 1~;~- 2)$, F (1~;~6)
et G$(7~;~- 1)$ ? 

Expliquer votre démarche.
\item Montrer que la droite $D_1$ d'équation $y = - 8x + 14$, est une hauteur du triangle EFG.
\item Trouver l'équation de la droite $D_2$ hauteur issue de G dans le triangle EFG.
\item Résoudre le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&-y-8x+14\\
4y&=& - x + 3
\end{array}\right.\]

\item Quelles sont les coordonnées du point H, intersection des hauteurs du triangle EFG ?
\end{enumerate}










\end{document}