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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Reims}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Reims septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(x - 2)(2x + 5) + x^2 - 4,\\
g(x)&=&(x - 2)(x + 5)^2 - 9(x - 2).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de polynômes réduits et ordonnés.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Calculer $f(0)$, $f\left(- \dfrac73\right)$ et  $f\left(\sqrt 2 - 1\right)$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, déterminer la
valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de $f\left(\sqrt 2 - 1\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $h(x) =\dfrac{f(x)}{g(x)}$.
		
Préciser l'ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ de la fonction $h$ et simplifier l'expression de $h(x)$ dans $\mathcal{D}_h$.

		\item On pose
\[h'(x) = \dfrac{3x + 7}{(x + 2)(x + 8)}.\]

Les fonctions $h$ et $h'$ sont-elles égales?
		\item Résoudre l'équation $h'(x) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item Faire la représentation graphique dans un repère \Oij{} de la fonction affine $k$ définie par $k(x) = 3x + 7$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, r.{),placer les points A, B et C définis par leurs coordonnées 
\begin{center} A(2~,~0), B$(O~,~-1)$ et C$(-1~,~1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$ puis leurs normes. 

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item On pose $\vect{v}= - \vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$ et on désigne par $t$ la translation de vecteur $\vect{v}$.

Déterminer les coordonnées du point D tel que $t$(A) = D.

Quelle est l'image de la droite (AB) par la translation $t$ ?

Démontrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un carré puis déterminer les coordonnées du centre I et le rayon $r$ du cercle contenant les points A, B, C et D.
\item On note $s$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BD).

Déterminer $s$(A), $s$(B), $s$(C) et $s$(D).

En déduire les images par $s$ des droites (AB) et (AD).
\end{enumerate}
\end{document}