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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1983}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 On donne les deux nombres réels 
 
\begin{center}$a =2\sqrt{13} - 6$ et $b = 2\sqrt{13} + 6$.\end{center}

Calculer :

\begin{enumerate}
\item $(a + b)^2$ ;
\item $a^2 + b^2$ ;
\item $\sqrt{ab}$ ;
\item $\dfrac ab$ (donner le résultat sous la forme d'un quotient sans radical au dénominateur).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit l'application

\[\begin{array}{l l c l}
f :	&\R&\to 		&\R\\
	&x &\longmapsto	&f(x) = (4x - 3)^2- 3x(4x - 3)- \left(16x^2 - 9\right).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = 0$.
\item Résoudre, dans $\R$, les inéquations:
	\begin{enumerate}
		\item $4x - 3 \leqslant 0$ ;
		\item $- 3x - 6 \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
	
En déduire, sans faire de calculs, quel est le signe
du produit

\[(4x - 3)(- 3x -6)\]

lorsque l'on remplace $x$ par $- \dfrac37$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points

\begin{center} A$(-3~;~2)$,\qquad B$(- 1~;~-2)$\quad  et \quad C(5~;~1)\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB, BC et AC. 

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Calculer les coordonnées du centre I du cercle circonscrit au triangle ABC.

Calculer le rayon R de ce cercle.
\item On considère le point D tel que : $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{BC}}$. 

Calculer les coordonnées du point D.

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
\item Déterminer une équation de la droite (AB).

E est le point d'intersection de la droite (AB) avec l'axe des abscisses. 

Calculer les coordonnées de E.
\end{enumerate}
\end{document}