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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Connaissance des réels.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le décimal inverse du décimal \np{0,025} ?
		\item Ordonner avec le signe $\leqslant$ les réels $\dfrac{7}{10}$ et $\dfrac23$ en justifiant la réponse.
		\item Encadrer le réel $\dfrac{227}{73}$ entre deux décimaux distants de $10^{-3}$.
		\item Donner une autre écriture du réel $\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2 - 1}$ en rendant le dénominateur rationnel.
	\end{enumerate}
\item Connaissance des relations et calculs.
	\begin{enumerate}
		\item Soit l'application $\begin{array}{l l c l}
f :& \R&\to& \R\\
&x&\mapsto& 5x - 9
\end{array}.$

Quelle est l'image par $f$ du réel $2$ ?

Quel est l'antécédent du réel $-13$ ?
		\item $x, a$ et $b$ sont trois réels non nuls tels que 
		\[\dfrac2x = \dfrac2a + \dfrac1b.\]

Trouver $x$ sachant que $a = 2,5$ et $b = \dfrac58$.
	\end{enumerate}
\item Fonctions numériques.
	\begin{enumerate}
		\item On donne la fonction polynôme $p$ de la variable $x$ telle que
\[p(x) = (x - 2)^2 - (2x + 1)(x - 2).\]

Donner la forme développée réduite de ce polynôme.

Factoriser $p(x)$.
		\item Soit la fonction rationnelle $h$ telle que

\[h(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x + 2)(x - 5)}.\]

Quel est l'ensemble de définition de $h$ ?

Quelle forme simplifiée peut prendre $h(x)$ dans ce domaine de définition ? ; on la notera $h'(x)$.

$h'(x)$ peut-il prendre la valeur $0$, la valeur $1$, la valeur $2$ ?

Dans les cas où $x$ existe, préciser sa valeur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien $(P)$ muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C donnés par leurs coordonnées
\begin{center}A(1~;~2),\qquad B(4~;~3)\quad et \quad C(5~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les composantes du vecteur $\vect{\text{AB}}$ (on dit aussi \og coordonnées \fg{} du vecteur $\vect{\text{AB}}$).
		\item Trouver une équation de la droite déterminée par les deux points A et B et notée droite (AB).
		\item Déterminer les coordonnées de E tel que $\{\text{E}\} = (\text{AB}) \cap (\text{OJ})$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{BC}}$ et 
 $\vect{\text{AC}}$.
		\item En déduire la nature du triangle (A, B, C).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point D tel que 
\[\vect{\text{DC}} = \vect{\text{AB}}.\]

		\item Préciser la nature du quadrilatère (A, B, C, D).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Appeler M le point de concours des diagonales de ce quadrilatère (A, B, C, D). Trouver les coordonnées de M. (La simple lecture sur représentation graphique ne suffit pas.)
		\item Établir avec soin que la droite (OM) est la médiatrice de [BC].
	\end{enumerate}
\item Donner la valeur de la tangente de l'écart angulaire $\alpha$ de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ et la valeur $\alpha$ (en degrés).
\end{enumerate}
\end{document}