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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


Soit les réels suivants :

\[\begin{array}{l c l}
A&= &\left(1 - 2\sqrt 2\right)^2 - \left(3 + \sqrt 2\right)^2 ;\\
B&=&\left(3 - 2\sqrt 2\right)\left(2 + 2\sqrt 2\right).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les écritures de $A$ et de $B$.

\item Écrire $\dfrac{A}{B}$ sous la forme $a\sqrt 2 + b$ ; $a$ et $b$ étant des
éléments de $\Z$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne une application $f$ définie dans $\R$ par

\[f(x) = (2x-1)^2-3(1 - 2x)(2 + x). \]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(\dfrac12\right),\: f(0),\: f(0,01),\: f(-1)$.
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Soit $g$ et $h$ les applications définies par

\[\begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to &\R\\
&x&\longmapsto& 2x- 1 ;
\end{array}\qquad 
 \begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to &\R\\
&x&\longmapsto& 5x+5.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement dans le plan muni d'un repère \Oij{} les applications $g$ et $h$.

		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection E des droites obtenues.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé $\left(\text{E},~\vect{\imath},~\vect{\imath}\right)$, on donne les points

\begin{center}
A$\left(- 5~;~\dfrac32\right)$, \qquad  B(1~;~3), \qquad C$(3~;~-5)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ? 

Le démontrer.
\item Calculer les coordonnées du centre O du cercle
passant par A, B et C. 

Calculer le rayon $r$ de ce cercle.
\item Calculer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère (A, B, C, D) soit un parallélogramme.

\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit un triangle (E, F, G),rectangle en F avec $d$(E, F) $= 2\sqrt 3$ et $d$(E, G) $= 4\sqrt 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(F, G).
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{FGE}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B. :} $d$(E, F) peut être notée EF.
\end{document}