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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes juin 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions
\[A = \dfrac{5x}{x + 5x^2}, \qquad B = \dfrac{3 - 15x}{(1 - 5x)^2}, \qquad C = \dfrac{6x}{x - 25x^2}.\]

\item Calculer $A- B + C$ et donner le résultat sous forme de fraction rationnelle, que l'on simplifiera.
\item Calculer la valeur numérique du résultat pour $x = \sqrt 2$, puis pour $x = - \dfrac15$.
\item Représenter graphiquement les variations de la fonction
\[y= \dfrac{1 + 5x}{8}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soient BAC un triangle isocèle (AB = AC), [AH] la hauteur relative à [BC] ; on construit un angle $\widehat{x\text{H}y}$, égal aux angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ du triangle isocèle, de façon que les côtés H$x$ et H$y$ coupent les segments [AB] et [AC] respectivement en M et N.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles MBH et HCN sont semblables.

Établir les relations
\begin{center}BM $\cdot$ CN $= \dfrac{\overline{\text{BC}}^2}{4}$, \quad 
et \quad HM $\cdot$ BH = BM $\cdot$  HN.\end{center}
\item Démontrer que le triangle MHN est semblable aux triangles MBH et HCN.
\item Montrer que [MH) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BMN}}$ ;
en déduire que la hauteur [HD] du triangle MHN garde une longueur constante lorsque l'angle $\widehat{x\text{H}y}$ tourne autour de H, ses côtés coupant les segments [AB] et [AC].
\item Montrer que (MN) reste tangente à un cercle fixe lorsque M varie.

Quel est le rayon de ce cercle lorsque BC $= 6$~cm et AB = AC $= 5$~cm ?
\end{enumerate}
\smallskip
\end{document}