\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Rennes juin 1954},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère un triangle isocèle ABC de base [BC] telle que BC $= 6$ cm et dont la hauteur [AO] mesure $4$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur des côtés [AB] et [AC].

Par un point variable H du segment [OC], te] que OH $= x$, on mène la perpendiculaire à (BC) qui coupe le prolongement de [AB] en E et le segment [AC] en F.

Évaluer en fonction de $x$ les longueurs HE, HF et EF{}.

Pour quelle valeur de $x$, le point F est-il le milieu de [HE] ?
\item Si I est le milieu de [EF], calculer HI.

Que peut-on dire du déplacement de I quand H décrit [OC] ?
\item Évaluer en fonction de $x$ le périmètre du quadrilatère OAFH et le périmètre du triangle AEF.

Étudier les variations de chacun de ces périmètres quand H décrit [OC].

Construire sur un même graphique le courbes représentatives de ces deux fonctions.

(L'unité de chacune des coordonnées sera le centimètre.)
\item Déterminer par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle ces deux périmètres sont égaux.

Vérification graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On considère un angle droit $\widehat{x\text{O}y}$, un point fixe A sur O$x$ tel que OA $= a$ et un point mobile B qui décrit la demi-droite [O$y$).

La perpendiculaire en A à (AB) coupe le prolongement de [O$y$) en C.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2.2)(2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-0.5,-2.2)(2,2.2)
\psline(0,-1.7)(1,0)(0,0.8)%CAB
\uput[l](0,2.1){$y$} \uput[l](0,0.8){B} \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,-1.7){C} \uput[dr](1,0){A} \uput[d](2.1,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que les milieux, I et J, de
[AB] et [AC] se déplacent sur une droite fixe et que l'angle $\widehat{\text{IOJ}}$  est constant.
\item Dans les triangles OAB et OAC, on mène les hauteurs issues de O dont les pieds
respectifs sont H et K.

Lieux géométriques de H et de K.

Montrer que (HK) passe par un point fixe.
\item Évaluer AB, AC, OC, OH et OK dans le cas particulier où OB $= \dfrac a2$.

Inversement, calculer OB pour que l'on ait

\[\dfrac{\text{OK}}{\text{OH}} = \dfrac32.\]
\end{enumerate}
\end{document}