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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1955~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne les expressions

\[A = 4\left(4x^2 - 9\right)\quad \text{et}\quad  B = 6(2x + 3).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A + B$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Pour quelles valeurs de $x$ cette expression s'annule-t-elle ?
\item Simplifier la fraction $y = \dfrac{A}{B}$.

Pour quelle valeur de $x$ la simplification n'est-elle pas possible ? 

Cette valeur exceptée, représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$ (on choisira une même unité sur les deux axes de coordonnées perpendiculaires, O$x$ et O$y$).
\item La droite précédemment construite coupe l'axe O$x$ en M et l'axe O$y$ en N.

Calculer la longueur MN et le sinus de l'angle $\widehat{\text{OMN}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un triangle OAB rectangle en A tel que l'on ait OA $<$ AB. On prend le point C de [AB] tel que

\[\overline{\text{OA}}^2 = \overline{\text{AB}} \times \overline{\text{AC}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles OAB et OAC sont semblables.

Écrire les égalités d'angles en résultant.
\item Montrer que dans le triangle OAB la médiane [AI] relative à l'hypoténuse est perpendiculaire à (OC).
\item Montrer qu'il existe un cercle et un seul, tangent en O à (OA) et qui passe par C et démontrer que ce cercle passe aussi par B.
\item Que serait la figure si l'on avait OA $>$ AB au lieu de OA $<$ AB ?
\end{enumerate}
\end{document}