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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

Soient les expressions algébriques :
\[\begin{array}{l c l}
A&=&(2x - 3)^2 - (2x - 3) (5x - 7),\\
B&=&(4 - 3x)(2 + 3x) - 2(1 - 2x)(3x - 4)
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A$ et $B$ sous forme de produits de deux facteurs du
premier degré.
\item Résoudre les équations $A = 0$ et $B = 0$ après avoir dit quel est leur degré.
\item Simplifier la fraction $\dfrac AB$ ; on obtient une fraction $F$.

Que peut-on dire de la valeur prise par $F$ quand on donne à $x$ l'une des valeurs trouvées à la question 2.

\item Tracer, sur un même graphique, les droites d'équations :
\[\begin{array}{l c l}
y&=&4 - x  \:;\\
y& =& 2x - 3.
\end{array}\]
et calculer l'abscisse de leur point commun.

Montrer sans calcul, que pour cette valeur de $x$, la fraction $F$ est égale à $1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit le triangle ABC, rectangle en A, dans lequel on donne

\begin{center}
BC $= 7,5$~cm \qquad ;\qquad  AB $= 6$~cm
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le construire en justifiant la méthode employée.
\item Calculer la longueur du côté [AC].
\item On prend sur [AB] le point E, sur [AC] le point D et sur
le prolongement de [CA] le point F, tels que : 
\begin{center}AE $= 1,8$~cm \qquad ;\qquad AD = AF $= 2,4$~cm.\end{center}

(FE) coupe (BC) en H.

Montrer que les triangles ABC et ADE sont semblables et que le triangle HFC est semblable aux précédents.

\item Montrer que les quadrilatères CDEB et CAEH sont inscriptibles.

Soit K le deuxième point d'intersection de (FH) avec le cercle circonscrit au quadrilatère CDBE, montrer que

\begin{center}FA $\times$ FC = FE $\times$ FH  :\end{center}
et que

\begin{center}FD $\times$ FC = FE  $\times$ FK \end{center}

En déduire que H est le milieu de [FK].
\end{enumerate}
\end{document}