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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Les mesures des côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC, exprimées en fonction d'un nombre $x$ positif, sont données par

\begin{center}BC $= y_1 = 2x - 5$,\quad CA $= y_2 = x + 2$,\quad AB $= y_3 = 8 - x$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les conditions d'existence d'un triangle (les nombres $y_1,\: y_2,\: y_3$ sont positifs et un côté quelconque est compris entre la somme et la différence de deux autres), écrire les différentes inégalités que $x$ doit vérifier.

En déduire la limite inférieure et la limite supérieure de $x$.
\item En tenant compte de ces limites, construire le graphes des fonctions$y_1,\: y_2$ et  $y_3$
\item Déduire de ces graphes, puis vérifier par le calcul, pour quelles valeurs de $x$ le triangle ABC est isocèle.

Donner, dans chaque cas, les mesures des trois côtés.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle (O), de centre O et de rayon $R$, un diamètre [AB] de ce cercle et la tangente $y'\text{A}y$ menée en A au cercle (O).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un cercle, de centre C, de rayon $\dfrac{R}{2}$,
tangent au cercle (O) et tangent à $y'\text{A}y$ en un point autre que A.

Combien de solutions obtient-on ?
\item On appelle T le point où le cercle $(C)$ est tangent à $y'\text{A}y$, M le point où les deux cercles sont tangents.

Démontrer que B, M et T sont alignés et calculer le
 rapport $\dfrac{\text{MT}}{\text{MB}}$.
\item Démontrer que C est équidistant de O et de A.

Calculer, en fonction de $R$, les longueurs AT, BT, AM, BM et MT.
\item La tangente commune aux deux cercles en M coupe $y'\text{A}y$ en S.

Calculer SM.
\end{enumerate}
\end{document}