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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les expressions algébrique 

\[\begin{array}{l l}
A = 2x + 2y,& B = 2x- 2y,\\
C = 3x + y,& D = 3x - y.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer $A^2, \:B^2,\: CD$ et ordonner chacune des expressions obtenues suivant les puissances décroissantes de $x$.

En déduire la forme réduite de l'expression 
\[E = A^2 + B^2 - CD\]
 et mettre cette expression $E$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Calculer les valeurs numériques de $A^2, \:B^2$,\: et $CD$ lorsque $x= - 3$ et $y =
\sqrt 2$.
Calculer, dans ce cas, de deux façons différentes la valeur numérique de $E$.
\item Pour quelles valeurs numériques de $x$ et de $y$ a-t-on simultanément 
\begin{center}$A = - 2$\quad  et \quad $B = 18$ ?\end{center}

Calculer les valeurs numériques que prennent alors le expressions $C$ et $D$.
\item Que savez-vous des fonctions définies par 
\begin{center}$y = x - 9$\quad  et \quad $y = - x - 1$ ?\end{center}

Construire, dans le même repère, les droites $(\Delta)$ et $(\Delta')$ représentant graphiquement ces fonctions.

Lire sur le graphique les coordonnées de leur point commun, I.

Construire, toujours dans le même repère, les droites $\left(\Delta_1\right)$ et $\left(\Delta_2\right)$ représentant graphiquement les fonctions définies par
\begin{center}$y = 7 - 3x$\quad  et \quad $y = 3x - 17$.\end{center}

Quel est le point commun aux droites $\left(\Delta_1\right)$ et $\left(\Delta_2\right)$ ?

Expliquer ce résultat en interprétant graphiquement les résultats de la question 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère trois points, A, B et C, alignés dans l'ordre A, B, C, tels que AB $= 4$~cm et 

AC $= 9$~cm.

Sur le cercle de diamètre [BC], de centre O, on marque un point P tel que AP $= 6$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles APB et APC.

Montrer que (AP) est tangente au cercle, en P.
\item On mène la corde [PR] perpendiculaire à (BC) en H. Que représente la droite (PB) pour l'angle $\widehat{\text{APR}}$ ?

Que représente le point B pour le triangle APR ?

Calculer, en centimètres, les longueurs des segments [PH], [AH] et [CH].
\item Le cercle de centre A et de rayon AP recoupe (CP) en E et (BP) en F.

Démontrer que les points A, E et F sont alignés.
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{PAO}}$ et la tangente de
l'angle $\widehat{\text{PCH}}$.
\end{enumerate}
\end{document}