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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f : x \longmapsto f(x) = \dfrac19 x^2 - 4.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images, par $f$, des nombres réels
suivants :
\begin{center}$- 3,\quad \sqrt 2 - 3$\quad et \quad $3 \cdot 10^{-1}$\end{center}
		\item Déterminer les nombres réels, s'ils existent, ayant pour
image, par $f$, les nombres
\begin{center}$- 3,\quad  - 4$\quad  et \quad  $- 5$.\end{center}
		\item L'application $f$ est-elle une bijection ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'application $g$ de $\R$ dans $\R$ définie par

\[g : x \longmapsto g(x) = \dfrac43x + 10.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'application $\left(f + \dfrac12g\right)$ qui à $x$ associe $f(x) + \dfrac12g(x)$.

Écrire $f(x) + \dfrac12g(x)$ sous forme d'un polynôme réduit
et ordonné et sous forme factorisée.
		\item Déterminer l'application composée $h = f \circ g$
($g$ suivie de $f$) en écrivant $h(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné et sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien, muni d'un repère orthonormé
\Oij{}, on considère les points A, B et C définis par leurs coordonnées 
\begin{center}A(3~;~0),\quad B(6~;~3) \quad et \quad C$\left(- \dfrac32~;~\dfrac92\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et 
		$\vect{\text{AC}}$ en fonction des vecteurs de base $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ , puis le vecteur $\vect{\text{AC}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item En déduire que les points A, B et C sont alignés.
	\end{enumerate}	
\item Déterminer les coordonnées du milieu, M, du bipoint (B, C), puis celles du point D symétrique du point O par rapport au point M.

Quelle est la nature du quadruplet (O, B, D, C) ?
\item Calculer les distances $d$(O, C), $d$(O, D) et $d$(C, D).

En déduire la nature du triangle (O, C, D).

\item Soit I la projection orthogonale de O sur la droite
(CD).

Que représente la droite (OI) pour le segment [CD] ? Déterminer les coordonnées du point I.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points C, O, A et D appartiennent au cercle de centre I et de rayon $d$(I, O).
		\item Démontrer que la droite (OB) est la tangente en O à ce cercle.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}