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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère deux applications polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[\begin{array}{l l c l}
f :& x \longmapsto& f(x) = (2x - 1)(3x - 1)\:\text{et}\\
g :& x \longmapsto&g(x) = x^2 - 4x + 4.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item Calculer $f(3),\: f\left(\dfrac12\right)$ et $g\left(\sqrt 2 - 1\right)$.

Sachant que $\sqrt 2$ est compris entre les décimaux 1,414 et 1,415, donner un encadrement de $g\left(\sqrt 2 - 1\right)$ à $10^{-2}$ près.
\item Factoriser les polynômes $f(x)$ et $g(x)$.

Résoudre dans $\Z$ l'équation $f(x) + 2g(x) = 0$.

Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) + 2g(x) = 0$.
\item Soit la fonction rationnelle $A$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[A : x \longmapsto  A(x) = \dfrac{(2x - 1)(x - 2)}{(x - 2)^2}.\]

Quel est l'ensemble de définition de cette fonction $A$ ?

Simplifier $A(x)$.

Déterminer l'ensemble, $\mathcal{E}$, des réels tels que $A(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} Toutes les questions sont indépendantes,

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan $\pi$ muni d'un repère \Oij{} orthonormé, on donne trois points A, B et C dont les coordonnées dans ce repère sont
\begin{center}A(- 3~;~1),\quad  B(2~;~5) \quad  et \quad  C(6~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit M le milieu de (A, C).

Calculer ses coordonnées, puis calculer les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à M.

On trouvera D$(1~;~- 4)$.
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(B, C) et $d$(A, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C), puis celle du quadruplet (A, B, C, D).
\item Donner une équation de la droite (AC), puis une de la droite (BD).
\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Préciser la position de ce point sur le segment [AC].

Pouvait-on la prévoir ?
\item Montrer que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\end{document}