\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Rennes  juin 1975},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Rennes }}
\rfoot{\small{juin 1975}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=& 9x^2 - 1\\
g(x)&=& 9x2 - 6x + 1- (x - 1)(2 - 6x)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les images par $f$ de $\left(- \dfrac13\right)$, $\left(3 \cdot  10^{-1}\right)$ et $\left(\sqrt 3 - 1\right)$.
		\item Calculer les antécédents par $f$, s'ils existent, des nombres suivants :  $(+ 3),\: 1,\:\left(-\dfrac43\right)$.
	\end{enumerate}
\item Écrire $g(x)$ sous forme d'un produit de polynômes du 1\up{er} degré et résoudre l'équation $g(x) = 0$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction rationnelle $h$, définie par 
		\[h(x) = \dfrac{9x^2 - 1}{(3x - 1) (5x - 3)}.\]

Déterminer son domaine de définition, simplifier $h(x)$ et résoudre
l'équation $h(x) = 1$.
		\item Le plan étant muni d'un repère \Oij{} retrouver graphiquement solution de l'équation $h(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

Le vecteur unitaire du plan $P$ est choisi de la façon suivante : la mesure en centimètres du segment [OI] est égale à 1,5,

On donne l'application $f$ dans le plan $P$ teUe que le point M qui a pour couple de coordonnées $(a~;~b)$ a pour image le point M$'$ qui a pour couple de coordonnées $\left(a'~;~b'\right)$ telles que 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a' &=& - b + 3 ;\\
b' &=& a - 4,
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image B$'$ par $f$ du point B de coordonnées (2~;~1) ? 

Quel est par $f$ l'antécédent A de O ? 

Quel est l'antécédent C du point C$'$ de coordonnées $(- 2~;~2)$.
\item Montrer que tout point M$'$ du plan P, de coordonnées $(a'~;~b')$ a un antécédent M par $f$.

Quelles sont les coordonnées de M ?

Montrer que $f$ est une isométrie.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C sont alignés. Pourquoi peut-on
en déduire que O, B$'$, C$'$ le sont aussi ?
		\item Montrer que les droites (AB) et (OB$'$) sont perpendiculaires.
		\item Donner une équation pour chacune de ces droites et déterminer ainsi le couple de coordonnées de leur point d'intersection K.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}